Доброго времени суток, уважаемые форумчане!

Пожалуйста, будьте добры, помогите мне разобраться со следующими вопросами.

1.Корректна ли такая запись $%f(x)=\underbrace{ |||...|| }_{ n }x-1|-1|-1|-...-1|-1|$%.
Я имею ввиду, является ли эта конструкция функцией от переменной $%x$%? Можно ли ее называть функцией?

2.Каким образом грамотно показать зависимость $%x$% и $%n$%, а именно тот факт, что при $%x \in \left[ n; +\infty \right)$% функция будет монотонно возрастать, ну или то, что $%x=n$% - это наибольший нуль этой функции. Из графика это видно, но графически это не доказать, тут надо как-то иначе, а я не могу сообразить, как.

Вообще, изначальное задание состоит в том, что эта конструкция равна параметру и нужно определить число решений при положительных $%x$%. Оно равно $%n+1$% при $%a$% от $%0$% до $%1$%. Но как это грамотно показать, не пойму.

задан 16 Янв 18:15

изменен 16 Янв 18:20

1

функцию можно задать рекуррентно... про наибольший корень доказывайте по индукции...

про число решений при $%a\in(0;1)$%, равное $%n+1$%, вроде неверно... по графику видео, что их $%2n$%... и тоже индукцией доказывается...

(16 Янв 18:27) all_exist

Спасибо за ответ! Правильно ли я понимаю из вашего ответа, что запись из п 1. в таком виде некорректна? На счет числа решений, я там уточнил, что (n+1) - это для положительной полуоси Ox, для положительных х столько решений. По индукции? То есть, предположим, что для положительных х число решений для n модулей равно (n+1). Тогда для n+1 числа модулей количество решений равно n+2...Я просто как-то теряюсь, как тут индукцию применить, простите меня, необразованного.

(16 Янв 18:40) Мистер Уизли

запись корректна... просто можно и по другому записать...

То есть, предположим, что для положительных х число решений для n модулей равно (n+1). Тогда для n+1 числа модулей количество решений равно n+2. - да, это индуктивный переход...

(16 Янв 18:46) all_exist

в принципе можно чисто графически рассуждать без перезаписи функции...

(16 Янв 18:47) all_exist

Хорошо, а не подскажите ли Вы, как дальше рассуждать? Индуктивный переход мне еще понятен, это первый шаг, а как теперь что-то показать, совершенно не пойму. Здесь же вроде как никуда ничего не подставить, чтобы какие-то преобразования сделать...

(16 Янв 18:51) Мистер Уизли

или можно провести рассуждения про общее число корней, а потом сказать, что кони симметричны относительно $%x=1$% и есть корень на отрезке $%(0;1)$%... откуда следует, что положительных $%n+1$%...

(16 Янв 18:52) all_exist

Индуктивный переход мне еще понятен, это первый шаг, а как теперь что-то показать, совершенно не пойму. - база индукции для $%n=1$%... там функция $%|x-1|$%... уж для неё число корней посчитать не сложно...

(16 Янв 18:53) all_exist

Я рассмотрел 4 графика функции при первых четырех значениях n и выявил общую закономерность, но ее же, насколько я могу судить, нужно доказать еще аналитически. Про симметрию относительно 1 мне понятно, да, спасибо за эту идею. Но тогда нужно доказать, что общее число корней 2n, что упирается опять в индукцию, которую я никак не могу понять для данного случая.

(16 Янв 18:56) Мистер Уизли

Докажем, что при n модулей количество решений равно 2n на множестве от 0 до 1. При n=1 получаем 2 решения, при n - 2n решений, тогда при n+1 у нас будет 2n+2 решения. Вычтем из n+1 1, а из 2n+2 2, получим, что при n 2n решений, но это мы и утверждали. Значит, предположение верное. Можно так?

(16 Янв 19:15) Мистер Уизли

@Мистер Уизли: запись корректна. При каждом фиксированном n получается функция, в чём нет никаких сомнений: f(x) явно выражено через x и всегда определено.

Я бы нарисовал графики для n=1, 2, 3, ... и пронаблюдал закономерность. Она там простая, и выявляется после пары-тройки экспериментов. После чего надо описать всё словами и по индукции доказать, что это будет так при любом n. Построение следующего графика из предыдущего имеет совершенно явную форму (опускаем на 1 вниз и отражаем "отрицательную" часть).

(17 Янв 1:08) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ f_1(x) = f(x) = |x-1|, \quad f_{n+1}(x) = f_n(|x-1|), \;\; n\ge 1 $$

Покажем, что уравнение $%f_n(x) = a \in(0;1)$% имеет $%n+1$% положительных корней, причём корни располагаются на соседних единичных отрезках... то есть $$ 0 < \xi_{n,1} < 1 < \xi_{n,2} < 2 < \ldots < n < \xi_{n,n+1} < n+1 $$

База индукции очевидна...

Предположим, что утверждение верно для номера $%n$%... Докажем его для $%n+1$%...

$$ f_{n+1}(x) = a \in(0;1) \quad\Rightarrow\quad f_n(|x-1|) = a \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{matrix} |x-1|=\xi_{n,1} \in(0;1) \\ |x-1|=\xi_{n,2}\in(1;2)\\ \ldots \\|x-1|=\xi_{n,n+1}\in(n;n+1) \end{matrix}\right. $$

Перовое из первое из полученных уравнений имеет два положительных корня $$ \xi_{n+1,1} = 1 - \xi_{n,1} \in(0;1) \quad\text{и}\quad \xi_{n+1,2} = 1 + \xi_{n,1} \in(1;2) $$

Все остальные уравнения имеют по два корня - один отрицательный и один положительный... $$ |x-1|=\xi_{n,k}\in(k-1;k) \quad\Rightarrow\quad $$ $$ \quad\Rightarrow\quad \eta_{n+1,k} = 1 - \xi_{n,k} < 0 \quad\text{и}\quad \xi_{n+1,k+1} = 1 + \xi_{n,k} \in(k+1;k+2) $$

ну, вот и всё...

ссылка

отвечен 16 Янв 19:45

изменен 16 Янв 19:46

Благодарю Вас, буду осмысливать!

(16 Янв 19:56) Мистер Уизли
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×588
×249
×158
×93
×15

задан
16 Янв 18:15

показан
154 раза

обновлен
17 Янв 1:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru