Доказать ,что для любых $%a,b,c>0$% верно неравенство $$(a+b)^2+(a+b+4c)^2 \geq \frac{100abc}{a+b+c}$$

Если тупо свести всё к $%\sqrt[3]{abc}$% ,то получиться более слабая оценка $%\geq 18*\sqrt[3]{2^7}$%

задан 17 Янв 1:46

изменен 17 Янв 2:04

10|600 символов нужно символов осталось
3

Ввиду однородности, можно считать, что a+b+c=1. Тогда знаменатель исчезает, левая часть выражается через c, и ab<=((a+b)/2)^2=(1-c)^2/4.

Проверяем, что при 0 < c < 1 верно неравенство (1-c)^2+(3c+1)^2>=25c(1-c)^2. Оно равносильно (5c-1)^2(2-c)>=0, то есть верно. Равенство имеет место при c=1/5, a=b=2/5. То есть исходное неравенство точное: оно становится равенством при a=b=2, c=1. Обе части равны 80.

Неравенство о среднем даёт здесь не оптимальную оценку, потому что a, b, c на самом деле не равны. Если как-то заранее угадать верную пропорцию, то его можно применить с "весами".

ссылка

отвечен 17 Янв 2:14

@falcao: Спасибо.

(17 Янв 14:56) potter
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тренируюсь

$%a = xc , b = yc ,t = \sqrt{xy}$%

$$\frac{(a+b+c)((a+b)^2+(a+b+4c)^2)}{100abc} = \frac{(x+y+1)((x+y)^2+(x+y+4)^2)}{100xy}\geq$$ $$\geq \frac{(2t+1)(4t^2+(2t+4)^2)}{100t^2} = \frac{1}{100} \Big(16t+40+\frac{48}{t}+\frac{16}{t^2} \Big) \geq \frac{1}{100} \Big(60+40 \Big)=1$$

ссылка

отвечен 9 Май 7:34

изменен 9 Май 7:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,112
×236

задан
17 Янв 1:46

показан
158 раз

обновлен
9 Май 7:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru