Решить уравнение:
$%[x]+[2x]+[3x]+...+[nx]=n^{2}$%
где $%n$% - натуральное число и $%[x]$% означает целую часть числа $%x$%

задан 6 Июн '13 15:14

изменен 6 Июн '13 16:57

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я решал так: исследовал случаи $%n=1,2,3$%, уловил получающуюся закономерность, а потом доказал её методом математической индукции.

Прежде всего, надо заметить, что $%x < 2$%. Доказывается от противного: если $%x\ge2$%, то целые части получаются в сумме как минимум $%2+4+\cdots+2n=n(n+1)$%, то есть больше $%n^2$%.

Доказывать мы будем, что множество решений уравнения имеет вид $%x\in[2-1/n;2)$%. При $%n=1$% это очевидно. Далее предположим, что при некотором $%n=k$% множеством решений уравнения $%[x]+[2x]+\cdots+[kx]=k^2$% будет $%x\in[2-1/k;2)$%, и теперь нас интересует уравнение при $%n=k+1$%, то есть $%[x]+[2x]+\cdots+[kx]+[(k+1)x]=(k+1)^2$%. Если мы установим, что множество его решений имеет вид $%x\in[2-1/(k+1);2)$%, то всё будет доказано.

Прежде всего, рассмотрим случай, когда $%x < 2-1/k$%. Тогда, согласно индукционному предположению, сумма $%[x]+[2x]+\cdots+[kx]$% меньше $%k^2$%. В самом деле, это значение $%x$% не попадает в уже найденное множество решений уравнения для случая $%n=k$%, а потому сумма не равна $%k^2$%. Но она не может и превышать $%k^2$%, так как тогда бы получилось, что с увеличением $%x$% до $%2-1/k$% сумма стала равна $%k^2$%, то есть уменьшилась. Далее, после домножения на $%k+1$% мы имеем $%(k+1)x < 2(k+1)-(k+1)/k=2k+1-1/k$%, откуда $%[(k+1)x] < 2k+1$%. Складывая, мы видим, что $%[x]+[2x]+\cdots+[kx]+[(k+1)x] < k^2+2k+1=(k+1)^2$%, то есть равенство не выполняется.

Таким образом, мы можем считать, что $%x\ge2-1/k$%. Поскольку мы знаем, что $%x < 2$%, число $%x$% попадает во множество решений уравнения для $%n=k$%, и по индукционному предположению мы имеем равенство $%[x]+[2x]+\cdots+[kx]=k^2$%. Для того, чтобы вместе с очередным слагаемым $%[(k+1)x]$% эта сумма давала $%(k+1)^2$%, необходимо и достаточно, чтобы $%[(k+1)x]$% равнялось $%(k+1)^2-k^2=2k+1$%. Но это, согласно определению целой части числа, означает выполнение двойного неравенства $%2k+1\le(k+1)x < 2k+2$%, то есть $%x\in[2-1/(k+1),2)$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 6 Июн '13 17:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,876

задан
6 Июн '13 15:14

показан
611 раз

обновлен
6 Июн '13 17:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru