Пусть A - вырожденная 2 x 2 матрица. Докажите, что существует базис в котором эта матрица имеет один из следующих видов:

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ или } \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Если я правильно понял, то здесь предлагается посмотреть на вырожденную 2 х 2 матрицу, как на матрицу линейного отображения векторного пространства в себя: $$K^2 \overset{\varphi}{\to} K^2$$ Я попробовал искать такой базис явно для произвольной матрицы А, но это не привело к желаемому результату. В то же время, неконструктивного решения этой проблемы не вижу.

задан 22 Янв 18:11

тут вроде достаточно знания о внешнем виде жордановой формы матрицы... и из общих соображений следует, что других видов записи (в случае, когда одно из собственных чисел равно нулю) просто нет...

(22 Янв 21:17) all_exist

Да, это напрямую следует из теоремы о жордановой форме.

(22 Янв 21:44) falcao

@all_exist а можно ли здесь обойтись без приведения к ЖНФ и собственных значений?

(22 Янв 21:44) ЖанВаль

@falcao можно ли установить этот факт, используя рассуждения, связанные только с линейными отображениями и их матрицами, ЖНФ в курсе пока не было

(22 Янв 21:46) ЖанВаль

@ЖанВаль: можно на саму теорему не ссылаться. У нас два собственных значения. Одно равно 0 из-за вырожденности. Если второе ненулевое, то есть базис из собственных векторов. В нём матрица имеем первый из видов. Пусть оба с.з. нулевые. Тогда A^2=0 по теореме Гамильтона - Кэли. Если A=0, то матрица имеет первый вид при L=0. Если A ненулевая, то существует v такой, что Av не равен 0. Тогда Av, v -- базис, так как эти векторы не пропорциональны (из Av=kv следует k=0, а это противоречие). В таком базисе у матрицы первый столбец нулевой, а второй равен 1 0. Это второй вид.

(22 Янв 22:14) falcao

@falcao Спасибо за ответ! Но неужели здесь нельзя обойтись без вычисления собственных значений? Кажется, что это задание не требует развития такой теории

(22 Янв 22:23) ЖанВаль

@ЖанВаль: одно дело какая-то сложная теория, другое дело собственные значения. Они здесь возникают сами собой, даже если не знать этого понятия. Ведь если матрица имеет простой вид (например, диагональный), то столбцы дают базис из собственных векторов.

Конечно, можно не упоминать ни одного из понятий, выводя всё из аксиом арифметики, но это вряд ли будет разумно.

(22 Янв 23:19) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,291
×412
×95

задан
22 Янв 18:11

показан
78 раз

обновлен
22 Янв 23:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru