Катя выписывает на доску натуральные числа так, что каждое число, начиная со второго, больше среднего арифметического своих соседей. Докажите, что, как бы Катя ни старалась, в какой-то момент ей придётся остановиться.

задан 23 Янв 0:25

2

достаточно рассмотреть разности между соседними числами.. уз условия следует, что такая последовательность убывает...

(23 Янв 0:31) all_exist

@all_exist, а разве перед этим не надо доказывать, что последовательность обязана быть возрастающей?

(23 Янв 0:38) Казвертеночка

@Казвертеночка, а зачем?... по разностям и первому члену однозначно восстанавливается исходная последовательность...

В силу убывания разностей получим, что исходная сначала может возрастать, а потом (или сразу) убывает... и должна стать отрицательной, что противоречит условию о натуральности элементов....

(23 Янв 0:43) all_exist

@all_exist, а мне кажется, что она убывать не может вообще, и вот по какой причине (я выстраиваю логический ряд, укажите мне, где я ошибаюсь):

Так как числа в последовательности являются натуральными, среди них должно быть самое маленькое. Но самым маленьким числом может быть только первое, в противном случае оно не будет больше полусуммы своих соседей. Аналогично доказывается, что самое маленькое среди оставшихся чисел - это второе, и так далее. Следовательно, последовательность строго возрастает.

(23 Янв 0:57) Казвертеночка

@all_exist, 2) А вообще-то, нет, не "строго возрастает", а "не убывает", ведь самых маленьких чисел может быть несколько.

(23 Янв 1:01) Казвертеночка

@Казвертеночка, почему обязательно первое?... вот последовательность - 10, 9, 7 , 4, ... в ней первое - самое большое

(23 Янв 1:20) all_exist

@all_exist, а какое в ней самое маленькое?

(23 Янв 1:27) Казвертеночка

самое маленькое будет последнее...

(23 Янв 1:34) all_exist

@all_exist, так последнего же нет! Мы же доказываем, что последовательность не может быть бесконечной.

(23 Янв 1:39) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: согласно тому, что сказал @all_exist, разности убывают, а потому становятся отрицательными, и тогда с этого места последовательность строго убывает. Этого достаточно.

Поскольку описываемая в условии ситуация невозможна, то в принципе вывести отсюда можно любой факт -- хоть о возрастании, хоть об убывании. То есть и Ваше рассуждение тоже годится.

(23 Янв 1:40) falcao

@falcao, большое спасибо!

(23 Янв 1:50) Казвертеночка
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$ a_1 - \text{ задано}, \quad a_{n} > \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \quad\Rightarrow $$ $$ \Rightarrow\quad 2a_{n} > a_{n-1}+a_{n+1} \quad\Rightarrow\quad a_{n} - a_{n-1}> a_{n+1}-a_{n} $$ Таким образом, последовательность $%b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$% - убывающая... поскольку $%b_n\in \mathbb{Z}$%, то найдётся номер, начиная с которого элементы будут отрицательными...

Пусть $%N$% - номер первого отрицательного члена последовательности $%b_n$%... Тогда $%a_{N}$% - максимальный член исходной последовательности... Следовательно, элемент $%a_M$%, где $%M=N+a_N$%, будет заведомо отрицательным...

ссылка

отвечен 23 Янв 1:33

@all_exist, большое спасибо!

(23 Янв 1:40) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,362
×136
×42
×13
×12

задан
23 Янв 0:25

показан
154 раза

обновлен
23 Янв 1:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru