|
Каким методом можно найти предел (n!)^(1/n) пробовал занести под логарифм и формулу Стирлинга задан 23 Янв '20 0:59 
ilia |
|
Рассмотрим степенной ряд $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $$ Радиус сходимости можно вычислить по формуле Коши-Адамара $$ \frac{1}{R} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} $$ То есть $%R$% - есть искомое значение предела... Применим к данному ряду признак Даламбера $$ \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot\frac{n!}{x^n}\right| = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{|x|}{n+1} $$ последний предел равен нулю при любом конечном $%x$%... следовательно, $%R=\infty$%... отвечен 23 Янв '20 1:44 
all_exist |
Формула Стирлинга даёт n/e, то есть предел бесконечный.
Можно и не применять формулу: у n! половина слагаемых не меньше n/2, откуда n!>=(n/2)^(n/2). Тогда n!>=sqrt(n/2), что стремится к бесконечности.