самообразование - Числа 2, 3, 8 и 12

Кроме указанных чисел, есть ещё четыре штуки.

Второе условие означает, что число имеет вид $%pm^2$%, где $%p$% простое. Тогда $%pqm^2$% является факториалом для некоторого простого $%q$%. Тогда $%n!=pqm^2$% либо является квадратом (при $%p=q$%), либо имеет ровно два простых числа с нечётными показателями в каноническом разложении.

Первый случай можно сразу отбросить из соображений постулата Бертрана. Для второго случая имеем: $%2!=2^1$%, $%3!=2^13^1$%, что подходит и даёт числа списка $%2$%, $%3$%; $%4!=2^33^1$%, что также подходит и даёт числа $%8$%, $%12$%. Далее $%5!=2^33^15^1$% пропускаем, $%6!=2^43^25^1$% пропускаем, но $%7!=2^43^25^17^1$% пополняет список числами $%720$% и $%1008$%. Далее прослеживаем показатели, и находим число $%11!=2^83^45^27^111^1$%, пополняя список ещё двумя значениями $%3628800$% и $%5702400$%.

Других значений уже не будет, так как при достаточно больших $%n$% верно неравенство $%\pi(2n)-\pi(n)\ge3$%, что следует из оценок Чебышева. Конечное число вариантов для остальных значений проверяются напрямую: начиная с $%n=17$%, у факториалов на конце будет по крайней мере три простых множителя в первой степени. Проверять можно в "убыстренном" варианте: после $%17=\ldots\cdot11\cdot13\cdot17$% брать $%22!=\ldots13\cdot17\cdot19$%, затем $%26!=\ldots\cdot17\cdot19\cdot23$%, потом $%34!=\ldots\cdot23\cdot29\cdot31$%, и так далее (третье с конца число удваиваем, и для его факториала смотрим на три последних простых).