|
А) В вершинах квадрата расставлены натуральные числа. Известно, что из двух чисел, стоящих в концах любой стороны, одно делится на другое, а из двух чисел, стоящих в концах любой диагонали, ни одно не делится на другое. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех этих чисел? Б) В вершинах куба расставлены натуральные числа. Известно, что из двух чисел, стоящих в концах любого ребра, одно делится на другое, а из двух чисел, не соединённых ребром, ни одно не делится на другое. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех этих чисел? задан 25 Янв '20 2:28 
Казвертеночка |
|
A) Если все числа делятся на одно и то же, то на него можно сократить. Поэтому НОД всех четырёх чисел равен 1. Пусть a, b, c, d -- числа в вершинах квадрата. Если a делится на b, то b не может делиться на c. Значит, c делится на b. По той же причине, a, с делятся на d. Числа b, d должны быть взаимно простыми, так как оставшиеся два числа на каждое из них делятся. Тогда у чисел b, d есть различные простые делители p, q соответственно, а числа a, c делятся на pq. Они не равны друг другу, и не равны pq, поэтому одно из них >=2pq, а другое >=3pq. Общая сумма не меньше 5pq+p+q>=35 ввиду того, что p>=2, q>=3 или наоборот. Сумма 35 достигается для случая чисел 2, 12, 3, 18 в вершинах. Б) Пока ответа не знаю -- сначала думал, что предыдущий пример можно распространить на куб, получая 70, но это не так. отвечен 26 Янв '20 18:52 
falcao @falcao, большое спасибо за первый пункт! Ждём второй :)
(27 Янв '20 1:04)
Казвертеночка
2
Не очень понятны трудности с пунктом Б). В вершинах тетраэдра ставим 2, 3, 5, 7, в четырех остальных - 30, 42, 70 и 105. Общая сумма 264.Сложности с оценкой? Да вроде тоже нет.
(27 Янв '20 11:28)
knop
|