А) В вершинах квадрата расставлены натуральные числа. Известно, что из двух чисел, стоящих в концах любой стороны, одно делится на другое, а из двух чисел, стоящих в концах любой диагонали, ни одно не делится на другое. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех этих чисел?

Б) В вершинах куба расставлены натуральные числа. Известно, что из двух чисел, стоящих в концах любого ребра, одно делится на другое, а из двух чисел, не соединённых ребром, ни одно не делится на другое. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех этих чисел?

задан 25 Янв 2:28

изменен 25 Янв 12:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

A) Если все числа делятся на одно и то же, то на него можно сократить. Поэтому НОД всех четырёх чисел равен 1.

Пусть a, b, c, d -- числа в вершинах квадрата. Если a делится на b, то b не может делиться на c. Значит, c делится на b. По той же причине, a, с делятся на d. Числа b, d должны быть взаимно простыми, так как оставшиеся два числа на каждое из них делятся. Тогда у чисел b, d есть различные простые делители p, q соответственно, а числа a, c делятся на pq. Они не равны друг другу, и не равны pq, поэтому одно из них >=2pq, а другое >=3pq. Общая сумма не меньше 5pq+p+q>=35 ввиду того, что p>=2, q>=3 или наоборот. Сумма 35 достигается для случая чисел 2, 12, 3, 18 в вершинах.

Б) Пока ответа не знаю -- сначала думал, что предыдущий пример можно распространить на куб, получая 70, но это не так.

ссылка

отвечен 26 Янв 18:52

@falcao, большое спасибо за первый пункт! Ждём второй :)

(27 Янв 1:04) Казвертеночка
2

Не очень понятны трудности с пунктом Б). В вершинах тетраэдра ставим 2, 3, 5, 7, в четырех остальных - 30, 42, 70 и 105. Общая сумма 264.Сложности с оценкой? Да вроде тоже нет.

(27 Янв 11:28) knop
3

@knop: я построил точно такой же пример, но доказательства оптимальности у меня нет.

(27 Янв 11:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×208
×182
×101
×6

задан
25 Янв 2:28

показан
268 раз

обновлен
27 Янв 11:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru