|
Помогите с решением. Подскажите что дальше делать. $$\ \int \frac{dx}{4sin(x)-6cos(x)}$$ Выполняем подстановку: $$\ t=tg(\frac{x}{2}); cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}; sin(x)=\frac{2t}{1+t^2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$ $$\ \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{8t}{1+t^2}-\frac{6(1-t^2)}{1+t^2}}= \\ \int \frac{dt}{3t^2+4t-3} = \int \frac{dt}{(\sqrt{3}t+\frac{2}{\sqrt{3}})^2 -\frac{13}{3}}\\ $$ задан 7 Июн '13 19:31 
AQZ |
|
Разность квадратов: в знаменателе $%\left (\sqrt{3}t+\frac{2-\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \right)\left (\sqrt{3}t+\frac{2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \right)$%. Выносим лишние множители за скобки и получаем $$\frac{1}{3}\int\frac{dt}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$$, которое решаем уже как обычно. отвечен 7 Июн '13 19:44 
MathTrbl Я понял как это вывели, но не понял насчет "как обычно". Можно поподробнее.
(7 Июн '13 20:04)
AQZ
@AQZ: множитель 1/3 уместно вынести за знаки интеграла по той причине, что интеграл от функции вида $%1/(t^2-a^2)$% относится к числу табличных. Если к такого рода готовым формулам всё можно свести, то обычно предпочитают этот способ.
(7 Июн '13 20:12)
falcao
@AQZ, "как обычно" означает, что надо разложить дробь $%\frac{1}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$% в виде $%\frac{A}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)}+\frac{B}{\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$%, а последние интегралы легко считаются (логарифмы от модулей)
(7 Июн '13 20:14)
MathTrbl
Ну вообще-то последний интеграл в вопросе табличным считается, мне кажется не стоит огород городить.Но вывести его тоже полезно, вдруг память подведет
(7 Июн '13 20:17)
epimkin
@MathTrbl, хорошо. А теперь как вывести систему уравнений для нахождения A и B? $$\ A+B=0; \ A\frac{2+\sqrt{13}}{3}+B\frac{2-\sqrt{13}}{3}=1 $$
(7 Июн '13 20:41)
AQZ
Привести правую дробь к общему знаменателю и приравнять к левой. У вас минус после B потерялся. Эту систему просто решить.
(7 Июн '13 20:48)
MathTrbl
$$\ A=-B; \ B= \frac{-3\sqrt{13}}{26}$$?
(7 Июн '13 21:04)
AQZ
@epimkin: Вы о каком интеграле говорите? Я имел в виду, что после возникновения квадратного трёхчлена в знаменателе можно вынести коэффиициент, приводя знаменатель к виду $%t^2\pm a^2$%, а это уже табличные дела.
(7 Июн '13 21:13)
falcao
Я имел ввиду самый последний интеграл в вопросе: там практически уже есть разность квадратов: замену сделать эту и все sqrt(3)t+2/sqrt(3)=z
(7 Июн '13 21:16)
epimkin
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
Замена: $%\sqrt3t+2/\sqrt3=z$%. Или так:
отвечен 7 Июн '13 19:41 
epimkin Вот Wolfram тоже так говорит, но в конце решения слишком заумно заворачивает и получается гиперболический тангенс, который я вообще не знаю.
(7 Июн '13 20:02)
AQZ
1
Гиперболический тангенс - это ничего страшного. $%\mathrm{th} x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$%
(7 Июн '13 20:05)
MathTrbl
Большое спасибо.
(7 Июн '13 20:05)
AQZ
|
