Помогите с решением. Подскажите что дальше делать. $$\ \int \frac{dx}{4sin(x)-6cos(x)}$$ Выполняем подстановку:

$$\ t=tg(\frac{x}{2}); cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}; sin(x)=\frac{2t}{1+t^2};dx=\frac{2dt}{1+t^2}$$

$$\ \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{8t}{1+t^2}-\frac{6(1-t^2)}{1+t^2}}= \\ \int \frac{dt}{3t^2+4t-3} = \int \frac{dt}{(\sqrt{3}t+\frac{2}{\sqrt{3}})^2 -\frac{13}{3}}\\ $$

задан 7 Июн '13 19:31

10|600 символов нужно символов осталось
0

Разность квадратов: в знаменателе $%\left (\sqrt{3}t+\frac{2-\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \right)\left (\sqrt{3}t+\frac{2+\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \right)$%. Выносим лишние множители за скобки и получаем $$\frac{1}{3}\int\frac{dt}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$$, которое решаем уже как обычно.

ссылка

отвечен 7 Июн '13 19:44

Я понял как это вывели, но не понял насчет "как обычно". Можно поподробнее.

(7 Июн '13 20:04) AQZ

@AQZ: множитель 1/3 уместно вынести за знаки интеграла по той причине, что интеграл от функции вида $%1/(t^2-a^2)$% относится к числу табличных. Если к такого рода готовым формулам всё можно свести, то обычно предпочитают этот способ.

(7 Июн '13 20:12) falcao

@AQZ, "как обычно" означает, что надо разложить дробь $%\frac{1}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$% в виде $%\frac{A}{\left (t+\frac{2-\sqrt{13}}{3} \right)}+\frac{B}{\left (t+\frac{2+\sqrt{13}}{3} \right)}$%, а последние интегралы легко считаются (логарифмы от модулей)

(7 Июн '13 20:14) MathTrbl

Ну вообще-то последний интеграл в вопросе табличным считается, мне кажется не стоит огород городить.Но вывести его тоже полезно, вдруг память подведет

(7 Июн '13 20:17) epimkin

@MathTrbl, хорошо. А теперь как вывести систему уравнений для нахождения A и B? $$\ A+B=0; \ A\frac{2+\sqrt{13}}{3}+B\frac{2-\sqrt{13}}{3}=1 $$

(7 Июн '13 20:41) AQZ

Привести правую дробь к общему знаменателю и приравнять к левой. У вас минус после B потерялся. Эту систему просто решить.

(7 Июн '13 20:48) MathTrbl

$$\ A=-B; \ B= \frac{-3\sqrt{13}}{26}$$?

(7 Июн '13 21:04) AQZ

@epimkin: Вы о каком интеграле говорите? Я имел в виду, что после возникновения квадратного трёхчлена в знаменателе можно вынести коэффиициент, приводя знаменатель к виду $%t^2\pm a^2$%, а это уже табличные дела.

(7 Июн '13 21:13) falcao

Я имел ввиду самый последний интеграл в вопросе: там практически уже есть разность квадратов: замену сделать эту и все sqrt(3)t+2/sqrt(3)=z

(7 Июн '13 21:16) epimkin

@AQZ, да верно.

(7 Июн '13 21:19) MathTrbl
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замена: $%\sqrt3t+2/\sqrt3=z$%. Или так:

alt text

ссылка

отвечен 7 Июн '13 19:41

изменен 8 Июн '13 16:44

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Вот Wolfram тоже так говорит, но в конце решения слишком заумно заворачивает и получается гиперболический тангенс, который я вообще не знаю.

(7 Июн '13 20:02) AQZ
1

А Вы ему не поддавайтесь

(7 Июн '13 20:03) epimkin
1

Гиперболический тангенс - это ничего страшного. $%\mathrm{th} x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$%

(7 Июн '13 20:05) MathTrbl

Большое спасибо.

(7 Июн '13 20:05) AQZ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×61

задан
7 Июн '13 19:31

показан
458 раз

обновлен
7 Июн '13 21:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru