Я конечно знаю, что для сложения простые дроби надо свести к общему знаменателю. В противном случае это будет также глупо и бессмысленно, как пытаться складывать километры и литры, ибо они не будут иметь ничего общего. Не зря ведь дроби сводят к общему знаменателю еще и тогда, когда хотят их сравнить.

Однако, дроби еще могут иметь общий числитель. И тогда их тоже можно сравнить. А раз их можно сравнить, то не было бы логичным предположить, что должен существовать способ сложить(а также вычитать, умножать, делить) их? Разумеется, без приведения к общему знаменателю.

Данная мысль пришла мне сейчас в голову, когда я решал одну задачу. Изначально пример был сложней, но мне удалось преобразовать его в более простой. А именно:

5/9 + 5/12 + 5/18

Я сначала сложил 5/9 и 5/18, получилось 5/6. Потом сложил 5/6 и 5/12, получилось 5/4.

Неужели это все просто чистое совпадения(или как вариант, небольшая шутка автора. А сами числа были найдены вслепую) и тут в принципе не может быть никакой закономерности?

задан 7 Июн '13 20:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, если числители одинаковые, то их можно считать равными единице, вынося общий множитель за скобку.

Для суммы дробей вида $%1/m+1/n$% в общем случае не существует чего-то другого кроме обычного ответа, где нужно знать и сумму, и произведение. Однако в каких-то отдельных случаях бывает так, что суммой может быть какая-то "хорошая" дробь. Простой пример: $%1/3+1/6=1/2$%. Оба рассмотренных Вами случая имеют в основе именно это равенство. Если Вы вынесете там общий для всех трёх слагаемых множитель, то именно это и получится.

Это не единственный такой пример: можно сложить $%1/4$% и $%1/12$%, получая в сумме $%1/3$%. Это всё укладывается в рамки такого однопараметрического тождества: $%\frac1{n+1}+\frac1{n(n+1)}=\frac1n$%.

Можно поставить вопрос о нахождении всех решений уравнения $$\frac1m+\frac1n=\frac1k$$ в натуральных числах. Это равносильно вопросу о том, при каких условиях произведение двух натуральных чисел $%m$% и $%n$% нацело делится на их сумму. В принципе, здесь нетрудно получить исчерпывающее описание.

ссылка

отвечен 7 Июн '13 21:25

Это напоминает о древнеегипетском счете, где других дробей, кроме обратных к натуральным, и не было. Они умели всякое отношение свести к сумме различных дробей вида 1/n.

(7 Июн '13 22:05) DocentI

@DocentI: Да, я тоже об этом подумал, но "вскользь". Там, кстати, несмотря на "древность" самих задач, есть весьма сложные вопросы, потому что представление дробей в таком виде далеко не единственно. Соответственно, каких-то простых правил сложения при этом быть не может -- как в случае цепных дробей и прочего.

(7 Июн '13 22:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я только сегодня сумел проделать действия с дробями, имеющими одинаковые числители. Чтобы их сложить, нужно: 1) Сложить знаменатели этих дробей и умножить сумму на исходный числитель. Результат записать в числитель. 2) Умножить знаменатели этих дробей и результат записать в знаменатель. 1/2+1/4=((2+4)1)/(24)=6/8=3/4 4/7+4/9=((7+9)4)/(79)=64/63=1 1/63 Чтобы вычесть две такие дроби, нужно: 1) Сложить числители этих дробей и результат записать в числитель. 2) Умножить знаменатели этих дробей и результат записать в знаменатель. 4/5-4/7=8/35 9/7-9/11=18/77 Единственный недостаток: если разность между знаменатели этих дробей равна 1, метод не работает. Если разность между знаменатели этих дробей равна 1, то тут совсем всё просто:числитель оставить тем же, а знаменатели перемножить между собой. 4/5-4/6=4/30=2/15 Кстати, мне 12 лет. В Интернете таких трюков не найти!!!

ссылка

отвечен 12 Июн '15 18:59

@Дмитрий Борисов: тут всё так и должно быть согласно общей процедуре, то есть 1/m+1/n=(m+n)/(mn). Это следует из обычного правила.

(12 Июн '15 21:26) falcao

Необязательно 1. Может быть любое число. Только при этом m+n нужно Умножить на число, записанное в числителе

(12 Июн '15 22:02) Дмитрий Борисов
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147

задан
7 Июн '13 20:51

показан
2141 раз

обновлен
12 Июн '15 22:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru