Из учебника высшей математики:

Понятие функционала является расширением понятия функции на случай, когда область определения есть множество объектов произвольной природы.

А разве функция должна иметь область определения, являющуюся множеством объектов лишь какой-то конкретной природы?

Если окажется, что функция и функционал это синонимы, тогда дополнительный вопрос:

Являются ли синонимами понятия функция, отображение, оператор, функционал, морфизм, форма?

задан 5 Фев 10:42

изменен 5 Фев 10:46

2

Функционал -- это оператор, принимающий значения в поле действительных (комплексных) чисел. Т.е. приведённое определение сформулировано не до конца. Функцией называют отображение, действующее в конечномерных пространствах (в подавляющем большинстве случаев это $%\mathbb{R}^n$% или $%\mathbb{C}^n$%). В разных разделах приняты разные термины, суть которых одна: есть область отправления и есть область прибытия. А тот закон, по которому происходит этот переход, и называют функция, функционал, оператор и т.д.

(5 Фев 13:06) caterpillar

@caterpillar, большое спасибо!

(6 Фев 2:45) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

В объём комментария не нместилось.

Функция и отображение -- полные синонимы с точки зрения современного подхода. Функционал является частным случаем функции. Такое словоупотребление более всего уместно в следующей ситуации. Пусть у нас имеется пространство функций (типа C[0,1]). Каждой такой функции можно сопоставить число (скажем, значение в точке 0). Это правило также является функцией. Но, если так его называть, то теряется разница между изучаемыми объектами (непрерывными функциями) и их свойствами (иметь то или иное значение в нуле). И тогда удобно назвать объект похожим словом от того же корня. То есть функционал -- удачный термин для такой ситуации. А ситуация типичная, так как функциональный анализ, в отличие от матанализа, изучает не пространства R^n и отображения их друг в друга, а пространства функций.

Поскольку почти все интересные отображения такого вида линейны, их называют ещё линейными функционалами. И этот термин распространяют на линейные отображения векторных пространств в основное поле. Это просто линейная функция на V, но V само могло состоять из функций. Бывают и нелинейные функционалы (типа выпуклых, где неравенство вместо равенства).

Оператор -- это уже скорее отображение из V в V, или, на худой конец, из V в W для векторных пространств. Функционал получается при W=R, но я за то, чтобы оператор действовал из пространства в себя (или был определён на подпространстве).

Морфизм -- понятие категорное, и для каждой категории морфизмы свои. Для категории множеств это обычные отображения. Для категории топологических пространств -- непрерывные. Для категории групп -- гомоморфизмы, и так далее. Причём при абстрактном введении понятия категории, там есть объекты и морфизмы, но последние могут быть заданы абстрактно, а не как отображения. Я, правда, считаю, что это "извращение" (как и вся теория категорий в целом :)), но это на уровне личного мнения.

Слово "форма" вроде вообще не из этого ряда -- разве что морфизм должен сохранять некую "форму" или "структуру".

ссылка

отвечен 5 Фев 17:48

1

@falcao, большое спасибо! Оказывается, функция и отображение -- полные синонимы, как бегемот и гиппопотам, помидор и томат, азбука и алфавит, языкознание и лингвистика, ...

(6 Фев 0:49) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: добавлю к сказанному следующее. Когда-то давалось такое "псевдоопределение" функции, что это "зависимость одной величины от другой". Для каких-то целей оно годится, хотя совершенно "допотопно". По ходу дела математики пришли к выводу, что функцией (из A в B) следует называть правило, которое каждому элементу множества A ставит в соответствие некоторый элемент множества B. То есть, грубо говоря, вместо функций в старом смысле этого слова следует рассматривать именно отображения. По этой причине и получаются синонимы.

(6 Фев 2:20) falcao
1

(продолжение) Также, поскольку понятие "правила" формально не определено, функцию в формальном смысле слова решили отождествить с тем, что фактически является её графиком, то есть это некоторое множество упорядоченных пар с двумя свойствами (всюду определённое функциональное соответствие).

(6 Фев 2:22) falcao

@falcao, "зависимость одной величины от другой"... Да и самому понятию зависимости тоже не помешало бы получить строгое математическое определение.

(6 Фев 2:32) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: если это сделать, то как раз современное понятие и возникнет.

(6 Фев 4:09) falcao

@falcao, оказывается, помимо функции, функционала и прочих понятий, есть ещё обобщённая функция: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D0%BE%D0%B1%D1%89%D1%91%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F

Или это из другой оперы?

(6 Фев 11:52) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: она хотя и называется обобщённой, но определяется обычным способом. То есть это всё равно будет некоторое отображение, хотя смысл у него несколько другой.

(6 Фев 12:40) falcao
1

@Казвертеночка, обобщённые функции -- это не что иное, как непрерывные функционалы, заданные на пространствах пробных функций (например, финитных бесконечно гладких).

(6 Фев 13:41) caterpillar
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,371
×158
×19
×16
×8

задан
5 Фев 10:42

показан
189 раз

обновлен
6 Фев 13:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru