Исследовать на сходимость интеграл $$\iint\limits_{\Omega}\dfrac{dxdy}{x^2+y^2},$$ где область $%\Omega$% определяется условиями $%|y|\le x^2$%, $%x^2+y^2\le1$%.


В силу неотрицательности подынтегральной функции и симметрии области интегрирования, после перехода к полярным координатам получаем $$\iint\limits_{\Omega}\dfrac{dxdy}{x^2+y^2}=4\int\limits_0^{\alpha}d\varphi\int\limits_{\frac{\sin\varphi}{\cos^2\varphi}}^1\dfrac{dr}r=4\int\limits_0^{\alpha}\ln\frac{\cos^2\varphi}{\sin\varphi}\,d\varphi,$$ где $%\alpha$% - угол между лучом $%OA$% (точка $%A$% - точка пересечения окружности и параболы в первой четверти) и положительным направлением оси $%Ox$%.

Как показать, что интеграл от логарифма сходится?

задан 8 Фев 13:36

К чему такие сложности? Тут деже полярные координаты ни к чему, т.к. интеграл по четвертинке прекрасно частично считается, после чего получается интеграл от arctg(x)/x с особенностью в нуле, что, естественно, сходится.

(8 Фев 14:22) caterpillar

@caterpillar, если не переходить к полярным координатам, то получается $$I=4\int\limits_0^{\frac{\sqrt5-1}2}dy\int\limits_{\sqrt{y}}^{\sqrt{1-y^2}}\dfrac{dx}{x^2+y^2}=4\int\limits_0^{\frac{\sqrt5-1}2}\left(\dfrac1y\arctan\dfrac{\sqrt{1-y^2}}y-\dfrac1y\arctan\dfrac1{\sqrt{y}}\right)dy.$$

(8 Фев 14:38) cs_puma

Страх какой. Лучше расставьте пределы в другом порядке.

(8 Фев 14:40) caterpillar

@caterpillar, не сильно лучше стало $$I=4\int\limits_0^{\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}}dx\int\limits_{0}^{x^2}\dfrac{dy}{x^2+y^2}+4\int\limits_{\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}}^1dx\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\dfrac{dy}{x^2+y^2}=4\int\limits_0^{\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}}\frac1x\arctan x\,dx+4\int\limits_{\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}}^1\frac1x\arctan \sqrt{1-x^2}\,dx.$$

(8 Фев 14:47) cs_puma
1

Гораздо лучше, только вот усложнять не нужно. Вы интеграл не считаете, а только исследуете на сходимость, поэтому всякие лишние части, на сходимость не влияющие, можно просто отбрасывать.

(8 Фев 14:48) caterpillar

@caterpillar, под усложнением Вы подразумеваете значение $%x_0=\sqrt{\frac{\sqrt5-1}2}$%?)) То есть достаточно записать $$I=4\int\limits_0^{x_0}\frac1x\arctan x\,dx+4\int\limits_{x_0}^1\frac1x\arctan \sqrt{1-x^2}\,dx,$$ а дальше сказать, что так как $$\lim\limits_{x\to +0}\dfrac1x\arctan x=1,$$ то интеграл сходится?

(8 Фев 15:15) cs_puma

Я имею ввиду не только это, но и то, что второй интеграл вообще ни к чему.

(8 Фев 15:17) caterpillar

А куда его деть?

(8 Фев 15:22) cs_puma
1

Часть области, которой он соответствует, ограничена, и в ней нет особенности, поэтому её можно не рассматривать вообще.

(8 Фев 15:25) caterpillar
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Вопрос решен". Закрывший - cs_puma 8 Фев 23:15

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×126
×28

задан
8 Фев 13:36

показан
39 раз

обновлен
8 Фев 15:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru