1
1

Найти спектр оператора в C[0; 1]:

Ax(t) = x(t) - 2x(1).

задан 8 Фев 18:15

изменен 9 Фев 15:00

10|600 символов нужно символов осталось
3

Уравнение на собственные значения: $%x(t)-2x(1)=\lambda x(t)$%. Пусть $%\lambda=1$%, тогда из уравнения следует, что $%x(1)=0$%, поэтому любая ненулевая непрерывная функция с таким свойством будет собственной, а $%\lambda=1$% -- собственным значением. Пусть $%\lambda\ne1$%, тогда из исходного уравнения следует, что собственная функция должна иметь вид $%x(t)=c\ne0$%. Подставляя этот вид в уравнение, имеем $%c(\lambda+1)=0$%, откуда $%\lambda=-1$% -- ещё одно собственное значение, соответствующее непрерывной ненулевой собственной функции со свойством $%x(t)=x(1)$%.

Чтобы показать, что других точек в спектре нет, исследуем оператор $%(A-\lambda I)x(t)=x(t)-2x(1)-\lambda x(t)$% на непрерывную обратимость. Пусть $%y(t)\in C[0,1]$% таково, что $%x(t)-2x(1)-\lambda x(t)=y(t)$%, тогда, подставив $%t=1$%, найдём $%x(1)=-\dfrac{y(1)}{\lambda+1}$%, откуда $%x(t)=\dfrac{y(t)}{1-\lambda}-\dfrac{2y(1)}{1-\lambda^2}=(A-\lambda I)^{-1}(y)$%. Ясно, что этот оператор определён при $%\lambda\ne\pm1$% на всём пространстве и ограничен, т.е. никаких других точек в спектре нет.

ссылка

отвечен 8 Фев 18:38

изменен 8 Фев 18:42

Спасибо большое за решение! Только у меня появился вопрос насчет числа -1. Если по условию пространство C[0; 1], то входит ли -1 в спектр?

(8 Фев 18:45) RAdium

Эти числа никак не связаны.

(8 Фев 18:46) caterpillar

спасибо большое!

(8 Фев 18:50) RAdium
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×545
×5

задан
8 Фев 18:15

показан
48 раз

обновлен
9 Фев 15:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru