При каком $%a$% уравнение $%\max_{x \leq t \leq x+1}( t^{3}-4t)=a $% имеет ровно два решения или больше трёх решений.

задан 8 Фев 19:06

изменен 8 Фев 19:14

Извините, ошибся в условиях, там должно быть в скобках $%( t^{3}-4t)$%.

(8 Фев 19:15) serg55

@serg55: я уже решил задачу для первоначальной версии условия. Графики там устроены аналогично, и вторая версия решается похожим образом.

(8 Фев 19:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Максимум функции $%f(t)=4t^3-4t$% достигается на отрезке $%t\in[x,x+1]$% либо на одном из его концов, либо в критической точке. Во втором случае это должна быть точка локального максимума функции $%t_0=-\frac1{\sqrt3}$%. Необходимо и достаточно, чтобы она при этом принадлежала отрезку, то есть выполнялось условие $%x\in[-\frac1{\sqrt3}-1,-\frac1{\sqrt3}]$%. При этом $%a=4t_0(t_0^2-1)=\frac8{3\sqrt3}$%. Такому значению $%a$% соответствует бесконечно много решений уравнения.

Пусть теперь точка $%t_0$% не принадлежит отрезку. Сравним значения на концах, рассматривая разность $%f(x+1)-f(x)=12x(x+1)$%. Значения равны при $%x=-1$% и $%x=0$%, причём первый случай относится к числу уже рассмотренных. Во втором случае максимум функции равен $%a=0$%.

Предположим, что $%x\in(-1,0)$%. Тогда $%f(x+1) < f(x)$%, и максимум достигается в точке $%t=x$%, если $%x\in(-\frac1{\sqrt3},0)$%. Функция на этом интервале убывает, и каждое значение $%a=(0,\frac8{3\sqrt3})$% встречается при этом ровно один раз.

Теперь пусть $%x > 0$% или $%x < -1$%. Если $%x > 0$%, то максимум равен $%f(x+1)$%, где $%t=x+1 > 1$%. На этом промежутке функция возрастает, что даёт по разу все значения $%a\in(0,\infty)$%. Наконец, если $%x < -1$%, то максимум равен $%f(x+1)$% при $%x < -\frac1{\sqrt3}-1$%, если исключить уже рассмотренный в начале случай. Здесь функция также возрастает, и максимум принимает по разу все значения $%a\in(-\infty,\frac8{3\sqrt3})$%. Получается, что значения $%a < 0$% встречаются однократно, и то же для $%a > \frac8{\sqrt3}$%, а значения из $%a\in(0,\frac8{\sqrt3})$% встречаются трёхкратно. Условию задачи, таким образом, удовлетворяет только $%a=0$% и $%a=\frac8{3\sqrt3}$%.

ссылка

отвечен 8 Фев 19:47

изменен 8 Фев 23:34

@falcao: Извините, пожалуйста, я не очень понял почему . Значению $%a=4t_0(t_0^2-1)=\frac8{3\sqrt3}$% соответствует бесконечно много решений уравнения, ведь это значение локального максимума, а это одна точка. Заранее благодарен. С уважением.

(8 Фев 23:28) serg55
1

@serg55: отрезков вида [x,x+1], содержащих точку локального максимума, бесконечно много. Здесь надо учесть то, что превышение значения (8/9)sqrt(3) происходит очень далеко, то есть любое x из отрезка, указанного в первом абзаце, подходит.

(9 Фев 0:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,686

задан
8 Фев 19:06

показан
81 раз

обновлен
9 Фев 0:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru