геометрия - Предел отношения объемов

Можно взять шар, отношение объемов будет тем же. Объем n-мерного шара есть в Википедии, $% V_n = C_n R^n \ $%, где $%C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\Gamma({n\over 2}+1)}$%. Дальше попробуйте сами

Дополнение. ,Объем описанного куба есть $%(2R)^n$%, так что отношение равно $%\frac{\pi^{n/2}}{Γ(n/2+1)2^n}$% = $%\frac{\pi^{n/2}}{n!!}a$%, где a зависит от только от четности n. Интуитивно ясно, что эта величина стремится к 0 , так как в числителе и знаменателе одинаковое число сомножителей, но в числителе они постоянные, а в знаменателе растут до бесконечности.
Чтбы доказать это строго, можно ирассматривать эти числа как общий член ряда и проверить ряд на сходимость по Даламберу. Но это - сами!