Найти интеграл $$\int\limits_0^{\pi}(\pi-x)\ln\sin x\,dx$$

задан 10 Фев 15:23

изменен 10 Фев 15:26

3

Если заменить $%\pi-x=y$%, то можно выразить интеграл от $%x\ln\sin x$% через интеграл Эйлера $%\int\limits_0^\frac{\pi}{2}\ln\sin x dx=-\frac{\pi}{2}\ln2$%.

(10 Фев 15:33) caterpillar

@caterpillar, а как свести к интегралу Эйлера? По частям?

(10 Фев 16:58) cs_puma
2

Я же написал замену, ей и сводится. Можете обозначить интеграл $%\int\limits_0^{\pi}x\ln\sin xdx=I$% и выразить $%I$% после замены через интеграл Эйлера.

(10 Фев 17:25) caterpillar

@caterpillar, я имею в виду как перейти от интеграла $%\int\limits_0^{\pi}t\ln\sin t\,dt$% к $%\int\limits_0^{\pi}\ln\sin t\,dt$%?

(10 Фев 18:41) cs_puma
1

Возьмите равенство, которое получилось после сделанной замены. Вставьте в него $%I$%. Выразите $%I$%.

(10 Фев 18:51) caterpillar
1

У меня не получилось то, что Вы посоветовали сделать, зато получилось так: Поскольку $%\sin2x=2\sin x\cos x$%, то $$ 2\int\limits_0^{\pi/2}(\pi-2v)\ln\sin2v\,dv=2\ln2\int\limits_0^{\pi/2}(\pi-2v)\,dv+2\int\limits_0^{\pi/2}(\pi-2v)\ln\sin v\,dv+$$ $$+2\int\limits_0^{\pi/2}(\pi-2v)\ln\cos v\,dv=\dfrac{\pi^2\ln2}2+2\int\limits_0^{\pi/2}(\pi-2v)\ln\sin v\,dv+4\int\limits_0^{\pi/2}t\ln\sin t\,dt=$$ $$=\dfrac{\pi^2\ln2}2+2\pi\int\limits_0^{\pi/2}\ln\sin v\,dv.$$

(10 Фев 20:54) cs_puma
2

Решение из комментария @caterpillar ...

$$ I = \int\limits_{0}^{\pi} (\pi-x)\cdot \ln\sin x\cdot dx =\Big\{\pi-x = y \Big\} = $$

$$ = \int\limits_{\pi}^{0} y\cdot \ln\sin(\pi-y)\cdot (-1)\cdot dy = \int\limits_{0}^{\pi} y\cdot \ln\sin y \cdot dy $$

Итого,

$$ 2I = \int\limits_{0}^{\pi} (\pi-x)\cdot \ln\sin x\cdot dx + \int\limits_{0}^{\pi} y\cdot \ln\sin y \cdot dy = \int\limits_{0}^{\pi} \pi \cdot \ln\sin x\cdot dx $$

Последний интеграл в силу чётности синуса относительно $%x=\pi/2$% даёт $$ 2I = 2\cdot \int\limits_{0}^{\pi/2} \pi \cdot \ln\sin x\cdot dx $$

(10 Фев 21:27) all_exist

@all_exist, теперь я понял, что @caterpillar имел в виду. Спасибо!

(10 Фев 21:47) cs_puma
1

@cs_puma, не за что...

это достаточно типовой приём, когда сумма исходного интеграла и преобразованного интеграла даёт что-то более простое, и его полезно знать...

(10 Фев 21:50) all_exist
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×126

задан
10 Фев 15:23

показан
72 раза

обновлен
10 Фев 21:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru