Исследовать интеграл $$\int\limits_{0}^a\int\limits_{0}^a\int\limits_{0}^a\dfrac{f(x, y, z)\,dxdydz}{\bigl((y-\varphi(x))^2+(z-\psi(x))^2\bigr)^p}$$ $%(0<m\le|f(x, y, z)|\le M)$% на сходимость, если $%\varphi(x)$% и $%\psi(x)$% - непрерывные функции на отрезке $%[0, a]$%.


Привожу свою попытку решения. Так как $$\dfrac{m}{\bigl((y-\varphi(x))^2+(z-\psi(x))^2\bigr)^p}\le\dfrac{|f(x, y, z)|}{\bigl((y-\varphi(x))^2+(z-\psi(x))^2\bigr)^p}\le\dfrac{M}{\bigl((y-\varphi(x))^2+(z-\psi(x))^2\bigr)^p},$$ то по признаку сравнения исследуемый интеграл сходится или расходится вместе с интегралом $$\int\limits_{0}^a\int\limits_{0}^a\int\limits_{0}^a\dfrac{dxdydz}{\bigl((y-\varphi(x))^2+(z-\psi(x))^2\bigr)^p}.$$ Сделаем замену переменных по формулам $%u=y-\varphi(x)$%, $%v=z-\psi(x)$% и в силу неотрицательности подынтегральной функции перейдем к повторному интегралу $$\int\limits_{0}^adx\int\limits_{-\varphi(x)}^{a-\varphi(x)}du\int\limits_{-\psi(x)}^{a-\psi(x)}\dfrac{dv}{\displaystyle (u^2+v^2)^p}.$$ Дальше думал перейти к полярным координатам, но не пойму как изменяются пределы интегрирования и как быть дальше. Подскажите, как быть?

задан 11 Фев 16:01

изменен 11 Фев 16:02

2

Думаю, тут достаточно рассмотреть окрестность произвольной особой точки. Кстати, про функции ничего не известно, потому и особые точки неизвестны, даже их количество. Благо, вероятнее всего, особые точки считаются изолированными и окрестность найти можно. Задача из серии "составитель сам себя перехитрил". Вдобавок, Вы при замене как-то про Якобиан не упомянули. А тут ведь опять косяк в условии -- чтобы осуществлять замену нужен диффеоморфизм, а по условию этого не дано. Дурацкая задача, как ни крути, бросьте её.

(11 Фев 17:17) caterpillar

Кстати, для особых точек получается система из двух уравнений с тремя неизвестными, так что насчёт "изолированных" это я погорячился.

(11 Фев 17:39) caterpillar

@caterpillar, якобиан равен 1, поэтому ничего и не изменилось.. Задача из Демидовича под номером 4194.

То есть так? Пусть $%c=\max\limits_{x\in[0, a]}(|\varphi(x)|+|\psi(x)|)$%, тогда $$\int\limits_{-\varphi(x)}^{a-\varphi(x)}du\int\limits_{-\psi(x)}^{a-\psi(x)}\dfrac{dv}{\displaystyle (u^2+v^2)^p}\le\int\limits_{-c}^{a+c}du\int\limits_{-c}^{a+c}\dfrac{dv}{\displaystyle (u^2+v^2)^p}<\iint\limits_{u^2+v^2\le2(a+c)^2}\dfrac{dudv}{(u^2+v^2)^p}=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{(a+c)\sqrt2}\dfrac{dr}{r^{2p-1}},$$ и этот интеграл сходится при $%p<1$%

(11 Фев 17:46) cs_puma
2

Я знаю, что Якобиан равен 1. А вот при вычислениях там производная задействуется, которой не существует просто потому, что в условии про это ничего не сказано. К тому же, ничего не ясно про особые точки (см. мой второй комментарий). Короче, я про эту задачу и думать не хочу!

(11 Фев 17:50) caterpillar
1

@cs_puma: я бы тоже на Вашем месте бросил бы эту серию задач. Заметьте, что их никому обычно не предлагают -- при том, что Демидович много где используется в качестве основного задачника. Задачи это "левые", потому что в условиях многое недосказано (и это говорит о том, что "больше песню ту никто и никогда не пел" (с), то есть их никто не решал :)). Набор приёмов тут везде однотипный, ничего принципиально нового Вы отсюда не узнаете. В крайнем случае, можно почитать решения в Антидемидовиче, чтобы увидеть отсутствие каких-то полезных элементов.

(11 Фев 18:20) falcao

@falcao, в антидемидовиче, увы, этой задачи нет, поэтому обратился за помощью к Вам

(11 Фев 18:23) cs_puma
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×126

задан
11 Фев 16:01

показан
52 раза

обновлен
11 Фев 18:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru