Здравствуйте. Столкнулся с задачей, вызывающей у меня трудности. Помогите пожалуйста

Всякое ли метрическое пространство из четырех точек можно изометрично (изометрия-отображение, сохраняющее расстояния) вложить в R^3 ?

У меня есть только одна мысль: нам надо задать такую метрику p, чтобы метрическое пространство (R^3,p), оказалось неполным, в случае если нельзя вложить (тогда по Критерию Коши есть фундаментальная последовательность, которая сходится к элементу не из этого пространства), ну или доказать, что такое пространство при любой метрике будет полным. Если то, что я говорю верно, то помогите с заданием метрики. Если нет, то подскажите, что в здесь вообще надо делать

задан 11 Фев 17:13

изменен 11 Фев 17:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Эта задача имеет чисто геометрическое содержание. К полноте и критерию Коши она не имеет отношения.

Рассмотрим сначала случай трёх точек. Нам даны попарные расстояния a, b, c между ними. Это положительные числа, удовлетворяющие неравенству треугольника: a<=b+c, b<=c+a, c<=a+b. Для таких чисел всегда можно построить плоский "треугольник" с длинами "сторон" a, b, c. Он может оказаться вырожденным: если для одной из троек имеет место равенство -- скажем, a=b+c, то получится отрезок длиной b+c, разделённый на две части длинами b и c. Но для трёх точек ответ положительный.

Для четырёх точек строится контрпример. Пусть BC -- максимальная по длине сторона. Пристроим к ней на плоскости треугольники ABC и BCD с заданными длинами сторон. Это возможно в силу неравенства треугольника. Теперь будем вращать в пространстве второй треугольник относительно BC, пытаясь "поймать" заданное расстояние между A и D.

Легко понять, что это не всегда возможно. Пусть все расстояния в метрическом пространстве между парами точек равны 1, кроме AD, которое равно x. Для любого 0 < x < 2 такое возможно, чтобы было верно неравенство треугольника. У нас в пространстве получатся правильные треугольники ABC и BCD. Когда мы их вращаем, то самое большое расстояние AD наблюдается на плоскости, и оно равно удвоенной высоте правильного треугольника, то есть sqrt(3). Поэтому, если положить x=1.8, то метрическое пространство в R^3 вложимо не будет.

ссылка

отвечен 11 Фев 18:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×155
×67
×28

задан
11 Фев 17:13

показан
142 раза

обновлен
11 Фев 18:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru