Дан ряд с монотонно убывающим неотрицательным общим членом: $$\sum\limits_{i=1}^{\infty}{a_n}$$ Пусть существует следующий предел: $$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{2^n \cdot a_{2^n}}{a_n}} = d$$ Необходимо показать, что если d > 1, то ряд расходится, если d < 1, то сходится. Прошу подсказать.

задан 11 Фев 19:30

изменен 12 Фев 4:23

Боюсь, что в такой формулировке это неверно. Можно члены с номерами вида 2^n выбрать такими, чтобы отношение всегда было равно d < 1, а остальные взять равными 1, и тогда ряд будет расходиться.

В такого рода критериях обычно бывает условие монотонного убывания или типа того.

(11 Фев 21:33) falcao

@falcao Да, действительно некорректно сформулировал, условие монотонного убывания необходимо. Исправил вопрос, спасибо.

(12 Фев 4:22) bumblebee

@Герман Якимов если $%d<\infty$% и ряд монотонно убывает, то $%a_{2^n}<\frac{Aa_n}{2^n}$% для некоторого A=const и любых n.

(12 Фев 13:47) abc

@abc Хм, не очень понимаю, мы вытащили ограничение на члены ряда с номерами, которые являются степенями двойки, но как ограничить весь ряд, используя это? В голову приходит только сгруппировать члены: первый оставить как есть, второй с третьим, дальше с четвертого по седьмой, дальше следующие 8 слагаемых и так далее, а потом оценить ряд сверху только через те члены, номера которых как раз имеют вид степеней двойки. Но такая группировка, кажется, не очень полезна

(12 Фев 14:08) bumblebee
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если d<1 то для некоторого D<1 при всех достаточно больших n выполняется неравенство: $%a_{n} < \frac{a_0D^{k(n)}}{2^{\lfloor\log_2{n}\rfloor}2^{\lfloor\log_2\log_2{n}\rfloor}2^{\lfloor\log_2\log_2\log_2{n}\rfloor}\cdots2^{\lfloor\underbrace{\log_2\cdots\log_2}_{\text{k(n)}}{n}\rfloor}}$% где k(n) это необходимое количество логарифмирований числа n для того чтобы оно стало меньше двух.

Поделив все на ненужное $%a_0$%, оценим теперь сверху специальную частичную сумму ряда (а именно суммируем группы для которых k(n)=const). Получив некоторую оценку для сумм таких групп останется только просуммировать по всем возможным const чтобы оценить всю исходную сумму.

Итак, при изменении n от $%2^m$% до $%2^{m+1}$% (то есть для 2^m членов ряда) правая часть вышеприведенного неравенства не меняется и равна: $% \frac{D^k}{2^m2^{\lfloor\log_2{m}\rfloor}2^{\lfloor\log_2\log_2{m}\rfloor}\cdots2^{\lfloor\underbrace{\log_2\cdots\log_2}_{\text{k-1}}{m}\rfloor}}$%

. Суммируя все $%2^m$% этих постоянных членов, получаем ограничение сверху на соответствующую частичную сумму ряда: $% \frac{D^{k}}{2^{\lfloor\log_2{m}\rfloor}2^{\lfloor\log_2\log_2{m}\rfloor}\cdots2^{\lfloor\underbrace{\log_2\cdots\log_2}_{\text{k-1}}{m}\rfloor}}$%

Применяя те же рассуждения к группам уже таких сумм, мы можем всё это свернуть в результате получая: $%\sum{a_n} < a_0\sum{D^{k}}$%. Следовательно ряд сходится при d<1.

ссылка

отвечен 15 Фев 19:04

изменен 16 Фев 0:45

Хм, не совсем понимаю, как получилось это неравенство

(15 Фев 20:34) bumblebee

Для упрощения понимания представьте что $%\frac{2^na_{2^n}}{a_n}=d$% для всех n (хотя я не уверен что такое категоричное равенство не ведет к противоречию, но это неважно). Тогда например $%a_{2^{2^n}}=\frac{da_{2^n}}{2^{2^n}}=\frac{d^2a_n}{2^{2^n}2^n}\le\frac{d^2a_0}{2^{2^n}2^n}$% и $%a_{2^{2^n+1}}=\frac{da_{2^n+1}}{2^{2^n+1}}=\frac{d^2a_n}{2^{2^n+1}2^n}\le\frac{d^2a_0}{2^{2^n+1}2^n}$%. Члены лежащие между $%a_{2^{2^n+1}}$% и $%a_{2^{2^n}}$% в силу невозрастания не превышают $%\frac{d^2a_0}{2^{2^n}2^n}$%. Обобщая все эти неравенства и переобозначая индексы получаем первое неравенство.

(16 Фев 0:41) abc
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,600
×757
×419

задан
11 Фев 19:30

показан
193 раза

обновлен
16 Фев 0:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru