Вычислить интеграл $$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-P(x_1, x_2, x_3)}\,dx_1dx_2dx_3,$$ где $$\displaystyle P(x_1, x_2, x_3)=\sum\limits_{i=1}^3\sum\limits_{j=1}^3a_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij}=a_{ji})$$ - положительно определенная квадратичная форма.

задан 11 Фев 21:12

Надо привести форму к сумме квадратов через линейную замену. Потом сделать эту замену в интеграле. Якобиан будет равен модулю определителя. От суммы квадратов переменных интеграл вычисляется через сферические координаты.

(11 Фев 21:26) falcao

@falcao, а какую линейную замену произвести?

(11 Фев 22:12) math

@math: ту, которая приводит форму к сумме квадратов. Её явный вид здесь не важен -- надо только знать, что она существует.

(11 Фев 23:29) falcao

@falcao, так? Квадратичную форму $%P(x_1, x_2, x_3)$% можно записать в виде $%P(x_1, x_2, x_3)=X^{T}AX$%, где $$A= {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}$$ - матрица квадратичной формы, $%X^T=(x_1, x_2, x_3), X$% - матрица-столбец переменных. Положим $%\lambda_1>0$%, $%\lambda_2>0$%, $%\lambda_3>0$% - собственные значения матрицы $%A$%, тогда квадратичная форма имеет канонический вид $%P(y_1, y_2, y_3)=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2$%, где переменные $%y_1$%, $%y_2$%, $%y_3$% определяются из соотношений

(12 Фев 0:34) math

$$\left\{\begin{align} & x_1=b_{11}y_1+b_{12}y_2+b_{13}y_3,\ & x_2=b_{21}y_1+b_{22}y_2+b_{23}y_3,\ & x_3=b_{31}y_1+b_{32}y_2+b_{33}y_3. \end{align}\right.$$ Поскольку матрица $$B= {\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13}\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix}}$$ является ортогональной, то модуль якобиана перехода равен единице

(12 Фев 0:35) math

и $$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-P(x_1, x_2, x_3)}\,dx_1dx_2dx_3=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda_1y_1^2-\lambda_2y_2^2-\lambda_3y_3^2}\,dy_1dy_2dy_3$$

(12 Фев 0:35) math

@math, все лямбды положительны... итого, получили произведение трёх интегралов Пуассона...

(12 Фев 0:38) all_exist

@all_exist, да, я добавила условие, что они положительны. А нужно пояснить почему они положительны или это неважно? И правильно я понимаю, что $%\det A=\lambda_1\lambda_2\lambda_3$%?

(12 Фев 0:42) math

потому что матрица положительно определена...

(12 Фев 0:50) all_exist

@math: да, определитель равен произведению собственных значений. А сферических координат тут не нужно -- интеграл распадается в произведение.

(12 Фев 1:30) falcao

@falcao, @all_exist, спасибо!

(12 Фев 14:47) math
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×97

задан
11 Фев 21:12

показан
58 раз

обновлен
12 Фев 14:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru