Вычислить $%n$%-кратный интеграл $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\,\ldots\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-\left(\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}x_ix_j+2\sum\limits_{i=1}^nb_ix_i+c\right)}\,dx_1dx_2\ldots dx_n,$$ если $%\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}x_ix_j$% $%(a_{ij}=a_{ji})$% - положительно определенная квадратичная форма.

задан 12 Фев 22:05

перемечен 13 Фев 18:55

cs_puma's gravatar image


1.3k112

Чем эта задача отличается от Вашей предыдущей?...

(12 Фев 23:24) all_exist

Какая разница их два, три или n штук?... Для n=3 Вы знаете решение.. теперь напишите в общем случае...

(13 Фев 9:54) all_exist

а как вычислить интеграл $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2+2x+5}\; dx? $$

(13 Фев 13:03) all_exist

@math: для конкретных чисел понятно, как надо считать. Но в "буквенном" виде ответ может и не выражаться как-то хорошо. В прошлой задаче всё выражалось через det(A), а здесь может участвовать матрица перехода к базису, в которой форма диагональна. Она через коэффициенты простым способом не выражается.

(13 Фев 13:45) falcao

@falcao, @all_exist Сделаем замену переменных по формулам $%x_i=y_i+\alpha_i, x_j=y_j+\alpha_j (i, j=1, 2, \ldots, n)$%, где $%\alpha_i, \alpha_j$% подбираются таким образом, что в выражении $$\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}x_ix_j+2\sum\limits_{i=1}^nb_ix_i+c=\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}y_iy_j+2\sum\limits_{i=1}^n\left(\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\alpha_j+b_i\right)y_i+\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}\alpha_i\alpha_j+2\sum\limits_{i=1}^nb_i\alpha_i+c$$ сумма $%\sum\limits_{j=1}^na_{ij}\alpha_j+b_i=0$%.

(13 Фев 14:32) math

Из этой системы линейных уравнений однозначно определяется единственный набор чисел $%\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$%, поскольку $%\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}x_ix_j$% - положительно определенная квадратичная форма и $%\delta=|a_{ij}|>0$%. Таким образом, $$\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}x_ix_j+2\sum\limits_{i=1}^nb_ix_i+c=\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}y_iy_j+\sum\limits_{i=1}^nb_i\alpha_i+c.$$ А как установить связь между числами $%a_{ij}, b_i, c$% и $%\sum\limits_{i=1}^nb_i\alpha_i+c$%, чтобы свести это выражение к виду $%\sum\limits_{i, j=1}^na_{ij}y_iy_j+d$%?

(13 Фев 14:34) math

@math: я не уверен, что именно такой способ здесь нужен -- ведь всё выражается в неявной форме, а это уже как бы есть, то есть следует из общей теории. Но, если считать, что числа alpha_i мы уже нашли, то константа d -- это и есть сумма b(i)alpha(i)+c.

(13 Фев 14:40) falcao

@falcao, просто в ответах $$I=\sqrt{\dfrac{\pi^n}{\delta}}\cdot e^{-\frac{\Delta}{\delta}},$$ где $%\delta=|a_{ij}|$%, $$\Delta=\begin{vmatrix}a_{ij} & b_i \ b_j & c \end{vmatrix}$$ - окаймленный определитель.

Отсюда мне кажется, что $%d=\frac{\Delta}{\delta}$%. Но я не знаю, как это показать. Не сильна в алгебре и определителях $%n$%-го порядка

P.S. почему редактор не выдает определитель, а пишет в строчку? Какой код нужен тогда?

(13 Фев 14:47) math

@math: я как раз хотел спросить, известен ли ответ? По заданной форме намного проще показать, как его получить -- чтобы не изобретать заново уже известное.

Я пока не понял, какой размер имеет окаймлённый определитель, и как его описать словами. Что касается набора формул, но там есть свои правила, и перенос строки осуществляется при помощи команды из двух символов \ друг за другом.

(13 Фев 15:01) falcao
2

@falcao, посмотрите, я верно сделала? На форуме эти формулы у меня не отображаются, прикрепляю скрин. https://ibb.co/JQJwrLN

(13 Фев 15:55) math
1

@math: да, там всё понятно как на уровне формул (и подробных, и кратких), так и на уровне объяснения. Единственное, что я бы чуть изменил, это языковой оборот. А именно, к (n+1)-му столбцу прибавим первый столбец, умноженный на a1, второй, умноженный на a2 и так далее. При таком описании ясно, что именно последний столбец меняется, а остальные -- нет. Когда говорят в начале "умножим первый столбец на a1", можно подумать на то, что он меняется. В принципе, мелочь, но её можно учесть.

(13 Фев 16:11) falcao

@falcao, спасибо!

(13 Фев 16:24) math
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
3

Перепишем квадратичную форму в матричном виде $$ L = \sum_{i,j =1}^{n} a_{ij}x_i x_j + 2\sum_{i=1}^n b_ix_i + c = \det (X^T M X) $$ где $$ M=\begin{pmatrix} a_{ij} & | & b_i \\ --& + & --\\ b_j & | & c \end{pmatrix}, \quad X= \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\x_n \\ 1 \end{pmatrix} $$

Приводим к каноническому виду матрицу $%A=(a_{ij})$%... $$ L=\lambda_1 y_1^2 + \ldots + \lambda_n y_n^2 + 2(\bar{b}_1y_1 +\ldots +\bar{b}_ny_n) +c $$ $$ M_1=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \ldots & 0 & | & \\ & \ddots & & | & \bar{b}_i\\ 0 & \ldots & \lambda_n & | &\\ --& --& -- & + & --\\ & \bar{b}_j & & | & c \end{pmatrix}, \quad X \to Y= \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\y_n \\ 1 \end{pmatrix} $$

Теперь выделяем полные квадраты $$ L= \lambda_1 z_1^2 + \ldots + \lambda_n z_n^2 + \lambda_{n+1} $$ $$ M_2=\begin{pmatrix} \lambda_1 & \ldots & 0 & | & \\ & \ddots & & | & 0\\ 0 & \ldots & \lambda_n & | &\\ --& --& -- & + & --\\ & 0 & & | & \lambda_{n+1} \end{pmatrix}, \quad Y \to Z= \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\z_n \\ 1 \end{pmatrix} $$ Понятно, что $$ \Delta = \det M = \lambda_1 \cdot \ldots \cdot \lambda_n \cdot \lambda_{n+1} = \det A \cdot \lambda_{n+1} =\delta \cdot \lambda_{n+1} $$

Первое преобразование ортогональное... второе сдвиг... То есть якобианы равны 1...

ну, и так далее...

ссылка

отвечен 13 Фев 16:11

изменен 13 Фев 16:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×133
×98

задан
12 Фев 22:05

показан
180 раз

обновлен
13 Фев 18:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru