Пусть $%f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$% -- непрерывная функция в области $%0\le x_i\le x$%, где $%i=1, 2, \ldots, n$%. Доказать равенство $$\int\limits_0^xdx_1\int\limits_0^{x_1}dx_2\ldots\int\limits_0^{x_{n-1}}f\,dx_n=\int\limits_0^xdx_n\int\limits_{x_n}^xdx_{n-1}\ldots\int\limits_{x_2}^xf\,dx_1 \qquad (n\ge2).$$


Даже не знаю, как подступить к решению этой задачи.

задан 13 Фев 19:43

изменен 13 Фев 19:45

1

@cs_puma: задача абсолютно тривиальная. Странно, что Вам она показалась сложной: Вы зачастую решаете "зубодробительные" примеры с длинными вычислениями, а тут совсем лёгкая арифметическая вещь.

Пусть n=3 (этой иллюстрации достаточно). Область интегрирования имеет вид 0<=x3<=x2<=x1<=x, что ясно из границ изменения переменных. Поменяем порядок их следования. Тогда x3 от 0 до x, за ним x2 от x3 до x, потом x1 от x2 до x. Просто смотрим на неравенства, и ничего сверх этого.

(13 Фев 19:55) falcao

@falcao, я просто никогда не решал задач с числом интегралов более 3, поэтому для самообразования взялся открыть в Демидовиче раздел "Многократные интегралы", а тут такая прелесть, которая завела меня в тупик. C Вашей подсказкой задача действительно простая.

Так как $%0\le x_n\le x_{n-1}, 0\le x_{n-1}\le x_{n-2}, \ldots, 0\le x_3\le x_2, 0\le x_2\le x_1, 0\le x_1\le x$%, или же $%0\le x_n\le x_{n-1}\le x_{n-2}\le\ldots\le x_3\le x_2\le x_1\le x$%, то поменяв порядок интегрирования, имеем $%0\le x_n\le x, x_n\le x_{n-1}\le x, \ldots, x_2\le x_1\le x$%, откуда следует требуемое соотношение.

(13 Фев 20:24) cs_puma
1

@cs_puma, я просто никогда не решал задач с числом интегралов более 3, поэтому для самообразования взялся открыть в Демидовиче раздел "Многократные интегралы", а тут такая прелесть... - здесь тот же прикол что и в этом Вашем топике

(13 Фев 21:52) all_exist

@all_exist, да!)

(13 Фев 21:52) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×278
×97

задан
13 Фев 19:43

показан
49 раз

обновлен
13 Фев 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru