найти норму оператора $% Ax(s)= \int_0^1 stx(t)dt $% действующего в нормированном пространстве Х, если а) Х=L1[0,1] б)X=C[0,1]

задан 16 Фев 13:33

1

$%\|A\|=\|s\|\cdot\|\varphi\|$%, где $%\varphi(x)=\int\limits_0^1tx(t)dt$% (вывод здесь) Остаётся вычислить норму функционала в соответствующем пространстве. Насчёт $%C[0,1]$% никаких проблем быть не должно, все оценки делаются стандартно ($%|x(t)|\leq\|x\|$%), норма равна $%\int\limits_0^1tdt$% и достигается на единичной функции.

(16 Фев 13:58) caterpillar
1

В $%L_1[0,1]$% надо оценить сверху $%t$% единицей, тогда и норма оценится единицей. А чтобы получить оценку снизу, достаточно рассмотреть функцию, сосредоточенную в окрестности точки максимума $%t$%: $%x_0(t)=x_0(t)>0$% при $%t\in[1-\varepsilon,1]$% и $%x_0(t)=0$% -- на остальной части. Тогда $%\int\limits_0^1tx_0(t)dt=\int\limits_{1-\varepsilon}^1tx_0(t)dt\geq(1-\varepsilon)\int\limits_{1-\varepsilon}^1x_0(t)dt=(1-\varepsilon)\|x_0\|$%. Можно, например, принять ненулевую часть за единицу.

(16 Фев 14:01) caterpillar

@caterpillar Там в двух случаях ответ должен быть 1/2

(16 Фев 19:55) Желтая кукуруза
1

Он и будет, ещё же ||s|| есть. В первом случае она равна 1, а во втором как раз 1/2.

(16 Фев 20:05) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×640
×81
×63

задан
16 Фев 13:33

показан
128 раз

обновлен
16 Фев 20:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru