уравнения - Как решить уравнение в натуральных числах

То, о чём Вы спрашиваете, относится к теме "диофантовы уравнения". Речь идёт об уравнениях, решения которых требуется найти в целых или в натуральных числах. Переменных в такого рода уравнениях обычно присутствует несколько. Общего алгоритма, позволяющего выяснить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение, не существует. Этот факт был установлен в 1970 году (отрицательное решение т.н. Десятой Проблемы Гильберта).

Можно привести конкретные примеры уравнений достаточно простого вида, о которых никто не знает, есть ли у них решения в целых числах. До недавнего времени это не было известно про уравнение $%x^3+y^3+z^3=30$%. Об этом упоминается в некоторых популярных книжках. (Здесь числа могут иметь разные знаки: для натуральных чисел отсутствие решений очевидно.) Где-то на рубеже двух тысячелетий был найден пример решения (конечно, при этом были задействованы компьютерные вычисления). Вот конкретный пример решения, которое можно непосредственно подставить и проверить: $%x=-283059965$%, $%y=-2218888517$%, $%z=2220422932$%.

Ответ на аналогичный вопрос, касающийся уравнения $%x^3+y^3+z^3=33$%, не известен по сей день.

Тем не менее, в олимпиадных задачах, связанных с диофантовыми уравнениями, обычно применяется один из нескольких известных приёмов. Это может быть рассмотрение остатков от деления на какое-нибудь число. Применив этот подход, иногда удаётся доказать, что у уравнения нет решений в целых числах. Однако иногда бывает так: решения у уравнения есть, и частные примеры находятся легко, однако доказательство того, что других решений нет, может быть сопряжено со значительными трудностями. Здесь на форуме не так давно обсуждалось одно уравнение такого типа. Скажем, можно рассмотреть уравнение $%x^3=y^2+2$% в натуральных числах, у которого есть очевидное решение $%x=3$%, $%y=5$%. При этом весьма непросто доказать, что других решений нет. Это требует рассмотрения числовых систем, использующих комплексные числа, и обладающих свойствами, схожими с обычной системой целых чисел со сложением и умножением.

Очень часто бывает полезен такой метод, который связан с нахождением ограничений. В частности, он применим к уравнению, указанному Вами в пункте 1. Ясно, что если все три числа большие, то обратные им числа малы, и их сумма не равняется единице. А если есть маленькое число, то все такие случаи перебираются вручную, и для каждого из них решения находятся полным перебором. Задача с похожим содержанием, насколько я помню, предлагалась в каких-то вариантах ЕГЭ.

Так или иначе, есть разные приёмы, позволяющие исследовать те или иные типы уравнений, но общего алгоритма, пригодного для решения таких задач, не имеется. Мне не известны какие-либо подходящие источники, систематически исследующие разные типы уравнений, но такие задачи то и дело встречаются в разного рода сборниках олимпиадных задач. Что касается общетеоретических сведений, то к ним можно отнести, например, описание пифагоровых троек, то есть общего уравнения $%a^2+b^2=c^2$% в натуральных числах. Если Вам этот материал не знаком, то полезно было бы прочитать (изложений этого вопроса, в том числе популярных, имеется масса).