1. -ый вопрос:Надо решить уравнение $%\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$% в натуральных числах
  2. -ой вопрос:Как я понял задания на тему "уравнения в натуральных/целых числах" очень любят использовать на олимпиадах,С6 и на других экзаменах. Может ли кто нибудь посоветовать книжку или какой-нибудь другой материал где описана именно эта тема, с общим алгоритмом решения,примерами и т.д.

задан 8 Июн '13 22:56

10|600 символов нужно символов осталось
2

То, о чём Вы спрашиваете, относится к теме "диофантовы уравнения". Речь идёт об уравнениях, решения которых требуется найти в целых или в натуральных числах. Переменных в такого рода уравнениях обычно присутствует несколько. Общего алгоритма, позволяющего выяснить, имеет ли решение произвольное диофантово уравнение, не существует. Этот факт был установлен в 1970 году (отрицательное решение т.н. Десятой Проблемы Гильберта).

Можно привести конкретные примеры уравнений достаточно простого вида, о которых никто не знает, есть ли у них решения в целых числах. До недавнего времени это не было известно про уравнение $%x^3+y^3+z^3=30$%. Об этом упоминается в некоторых популярных книжках. (Здесь числа могут иметь разные знаки: для натуральных чисел отсутствие решений очевидно.) Где-то на рубеже двух тысячелетий был найден пример решения (конечно, при этом были задействованы компьютерные вычисления). Вот конкретный пример решения, которое можно непосредственно подставить и проверить: $%x=-283059965$%, $%y=-2218888517$%, $%z=2220422932$%.

Ответ на аналогичный вопрос, касающийся уравнения $%x^3+y^3+z^3=33$%, не известен по сей день.

Тем не менее, в олимпиадных задачах, связанных с диофантовыми уравнениями, обычно применяется один из нескольких известных приёмов. Это может быть рассмотрение остатков от деления на какое-нибудь число. Применив этот подход, иногда удаётся доказать, что у уравнения нет решений в целых числах. Однако иногда бывает так: решения у уравнения есть, и частные примеры находятся легко, однако доказательство того, что других решений нет, может быть сопряжено со значительными трудностями. Здесь на форуме не так давно обсуждалось одно уравнение такого типа. Скажем, можно рассмотреть уравнение $%x^3=y^2+2$% в натуральных числах, у которого есть очевидное решение $%x=3$%, $%y=5$%. При этом весьма непросто доказать, что других решений нет. Это требует рассмотрения числовых систем, использующих комплексные числа, и обладающих свойствами, схожими с обычной системой целых чисел со сложением и умножением.

Очень часто бывает полезен такой метод, который связан с нахождением ограничений. В частности, он применим к уравнению, указанному Вами в пункте 1. Ясно, что если все три числа большие, то обратные им числа малы, и их сумма не равняется единице. А если есть маленькое число, то все такие случаи перебираются вручную, и для каждого из них решения находятся полным перебором. Задача с похожим содержанием, насколько я помню, предлагалась в каких-то вариантах ЕГЭ.

Так или иначе, есть разные приёмы, позволяющие исследовать те или иные типы уравнений, но общего алгоритма, пригодного для решения таких задач, не имеется. Мне не известны какие-либо подходящие источники, систематически исследующие разные типы уравнений, но такие задачи то и дело встречаются в разного рода сборниках олимпиадных задач. Что касается общетеоретических сведений, то к ним можно отнести, например, описание пифагоровых троек, то есть общего уравнения $%a^2+b^2=c^2$% в натуральных числах. Если Вам этот материал не знаком, то полезно было бы прочитать (изложений этого вопроса, в том числе популярных, имеется масса).

ссылка

отвечен 9 Июн '13 0:21

Огромное Вам спасибо!

(9 Июн '13 0:28) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
1

В силу симметрии можно считать, что $%a\le b\le c$%. Какие значения может принимать $%a$%?

ссылка

отвечен 8 Июн '13 23:06

2,3,4,5,6,7..... вот такие

(8 Июн '13 23:09) SenjuHashirama

Нет, не так. Если $%a=4$%, то $%b\ge4, c\ge4$%. Тогда какие значения может принимать левая часть?

(8 Июн '13 23:17) DocentI

решение (3;3;3),(2;4;4)

(8 Июн '13 23:43) SenjuHashirama

Есть еще одно решение.

(9 Июн '13 0:05) DocentI

(2;3;6),..?

(9 Июн '13 0:07) SenjuHashirama

Да.
Основные методы для решения Диофантовых уравнений - делимость, остатки и неравенства.

(9 Июн '13 0:11) DocentI

@SenjuHashirama: когда Вы решаете уравнение из пункта 1, то при рассмотрении частных случаев $%a=2$%, $%a=3$% далее возникает уравнение того же типа, к которому применим аналогичных подход. Скажем, если $%a=2$%, то $%1/b+1/c=1/2$%, и из соображений $%b\le c$% снова возникают ограничения на $%b$%. Это я к тому, чтобы никакое из решений не оказалось пропущенным, то есть перебор всегда проводится на некой систематической основе.

(9 Июн '13 0:24) falcao

Спасибо Вам!

(9 Июн '13 0:28) SenjuHashirama
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Часто полезным есть разложение на множители левой части уравнения, так чтобы правая часть при этом оставалась целым числом (плюс перебор всех возможных вариантов).

ссылка

отвечен 12 Июн '13 19:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×787

задан
8 Июн '13 22:56

показан
6218 раз

обновлен
12 Июн '13 19:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru