Пусть есть натуральное $%n\ge 2$%, N - матрица $%n \times n, N^n=0,N^{n-1}\ne 0$%

Докажите, что не существует матрицы $%X$% такой что $%X^2=N$%

задан 22 Фев 8:31

Пусть $%X^2=N$%. Тогда $%N^{n-1}=X^{2n-2}$%. Надо как-то доказать, что правая часть равна нулю. Но мы только знаем, что $%N^n=X^{2n}=0$%. Т.е. $%X^{2n}=0$% но нет же причины почему меньшая степень $%X^{2n-2}$% должна быть нулевой.

(22 Фев 8:35) useruseruser

@useruseruser: характеристический многочлен матрицы N равен t^n. Тогда det(N-t^2E)=(t^2)^n=t^{2n}, и он же равен det(X-tE)det(X+tE). Сомножители имеют степень n по t, то есть равны +-t^n. По теореме Гамильтона - Кэли, X^n=0, и тогда X^{2n-2}=0 ввиду n>=2.

(22 Фев 11:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×412

задан
22 Фев 8:31

показан
49 раз

обновлен
22 Фев 11:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru