Решить в целых числах уравнение $%2^3\cdot3^2(x-y)(x+y)=x^2y^2.$%

Пыталась решить, но зашла в тупик..


Поскольку левая часть делится на $%8$%, а в правой части стоит полный квадрат, то обе части уравнения делятся на $%16$%. Значит, $%(x-y)(x+y)\vdots2$%, откуда получаем, что числа $%x$% и $%y$% одной четности. Если они оба нечетные, то правая часть не будет делиться на 16. Значит, они оба четные. Пусть $%x=2a$%, $%y=2b$%, тогда уравнение примет вид $%2\cdot3^2(a-b)(a+b)=a^2b^2$%. Аналогично получаем, что числа $%a$% и $%b$% четные. Пусть $%a=2m$%, $%b=2n$%, тогда уравнение примет вид $%3^2(m-n)(m+n)=2m^2n^2$%. Следовательно, одно из чисел делится на $%3$%. Пусть $%n=3k$%, тогда $%m^2-9k^2=2m^2k^2$%

задан 23 Фев '20 15:24

1

Как и в прошлом вашем уравнении, соображения делимости помогают сократить перебор. Но универсальный способ:
$%uv+mu+nv=0 \Leftrightarrow (u+n)(v+m)=mn$%
И перебор делителей числа $%mn$%

(23 Фев '20 15:36) spades
1

@math: у Вас тут почти всё уже готово. Надо преобразовать уравнение. Домножая на 2, имеем (2m^2)(2k^2)-2m^2+9(2k^2)=0, то есть (2m^2+9)(2k^2-1)=-9. Понятно, что первый сомножитель равен 9, и решение только нулевое. Второй случай, когда m делится на 3, даёт m=3k и (2k^2+1)(2n^2-9)=-9, откуда помимо нулевого решения получается ещё k=2, n=2. Итого (x,y) равно (0,0) или (24,8).

По-моему, задача однотипна предыдущей. По сравнению со стандартными упражнениями типа 2xy=7x+3y, тут только увеличены коэффициенты с идеей сократить перебор вариантов.

(23 Фев '20 17:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×175
×104

задан
23 Фев '20 15:24

показан
217 раз

обновлен
23 Фев '20 17:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru