алгебра - Доказать, что всякое k-мерное подпространство п-мерного пространства является пе-ем ядер...

Выберем базис в k-мерном подпространстве. Дополним его до базиса всего пространства. С каждым из n-k добавленных векторов свяжем линейную функцию, значение которой на этом векторе равно 1, а на остальных базисных векторах равно 0. Очевидно, такая функция существует и единственна.

Все базисные векторы k-мерного подпространства по построению лежат в ядре любой из рассмотренных линейных функций. Это значит, что k-мерное подпространство содержится в пересечении ядер. При этом одно и другое совпадает, так как если вектор не принадлежит подпространству, то при разложении по базису он имеет ненулевой коэффициент при одном из добавленных векторов. Значение соответствующей линейной функции на данном векторе равно этому коэффициенту, то есть отлично от нуля, и вектор не лежит в ядре этой функции, а потому и в пересечении ядер.