Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: $$y =(24 - x^2)^{1/2},$$ $$y = x^{2/3},$$ $$x=0$$ Если решать напрямую, то получаются довольно громоздкие выражения (придётся решать кубическое уравнение, для того чтобы найти точку пересечения графиков, не проблема, но кажется, что можно проще). Есть подозрение, что при переходе в полярную систему координат можно получить что-то красивое, однако ничего хорошего у меня нащупать не вышло. Буду признателен, если кто-то поделится своими размышлениями.

задан 9 Июн '13 4:33

спасибо всем, кто пытался решить, но до меня наконец дошло, что проще было сразу разбить на 2 интеграла: площадь I четверти круга и площадь области, ограниченной линиями y = 0, и первыми двумя уравнениями из задания... тогда разность этих интегралов даёт искомую площадь

(9 Июн '13 9:20) zhildemon

А что у Вас получилось в результате? Получается ли хороший ответ? Там ведь при втором способе всё равно надо знать точку пересечения графиков, интегрируя по $%y$% от нуля до некоторого значения?

(9 Июн '13 11:36) falcao
1

хм, ваша правда, я чуть-чуть повертел исходные данные, и через используя логарифмирование, а после, потенцируя, избежал кубического уравнения и получил искомую точку, решение по-прежнему не очень элегантно смотрится... ну или совсем не элегантно, если быть точным

точка: $%(\sqrt{\frac{e^{1/3}}{4}+24} - \frac{e^{1/6}}{2})^{2/3}$%

(9 Июн '13 14:02) zhildemon

Каким образом удаётся решить это уравнение через логарифмирование? Мне кажется, тут если что-то и возможно, то нахождение приближённого решения. Как у Вас получилось то значение через $%e$%, которое здесь написано?

(9 Июн '13 15:54) falcao

Ещё одно замечание по ходу дела: бывают кубические уравнения, корни которых хорошо выражаются через синусы или косинусы углов типа $%pi/7$% или $%\pi/9$%, но здесь вроде бы не тот случай. Я подозреваю, что тут что-то не то с показателями. По идее, должно как-то использоваться то, что $%24=8+16$%, то есть решением уравнения должна быть какая-то степень двойки -- возможно, с полуцелым показателем. Если чуть-чуть изменить условие, то можно этого добиться.

(9 Июн '13 16:17) falcao
1

может я и перемудрил, но $$ y=(24-x^2)^{1/2}$$
$$ln(y) = \frac{1}{2}ln(24-x^2)$$ со 2-м аналогично, также выношу степень, приравниваю, получаю: $$\frac{1}{2}ln(24-x^2)=\frac{2}{3}ln(x)$$ потенцирую по основанию e: $$e^{1/2}(24-x^2)=e^{2/3}x$$ выделяю полный квадрат, нахожу корни квадратного уравнения, избавляюсь от отрицательного... как-то так... и сдаётся мне, что я где-то накосячил, потому что корень кубического уравнения и этот не совпадают

(9 Июн '13 19:11) zhildemon

точно... в полярной системе координат вертел, тоже не очень удобно всё решается... брошу я это дело на время, 4-й час ночи, в 8:30 экзамен по другому предмету... на досуге ещё посмотрю

(9 Июн '13 20:06) zhildemon
1

Я попытался решить возникающее кубическое уравнение формулой Кардано и получается такой ответ: $%x=\sqrt{23+\sqrt[3]{-793+48\sqrt{318}}+\sqrt[3]{-793-48\sqrt{318}}}$%

(10 Июн '13 9:27) MathTrbl
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

В последнем действии ошибка. После потенцирования получится то, с чего начали. Ваше преобразование соответствует тому, как если бы вместо произведений были суммы: $%1/2+\ln(24-x^2)$% и т.п. Тогда получилось бы именно то, что написано.

ссылка

отвечен 9 Июн '13 19:53

так что насчёт варианта попроще? может при переходе в новую систему координат можно получить что-то более-менее приятное?

(21 Июн '13 12:51) zhildemon
1

Тут только численными методами можно решить -- если имеется в виду, что в условии нет никаких опечаток. Можно сделать замену типа тригонометрической, но ничего хорошего при этом всё равно не получается.

(21 Июн '13 17:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×856

задан
9 Июн '13 4:33

показан
927 раз

обновлен
21 Июн '13 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru