|
Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями: $$y =(24 - x^2)^{1/2},$$ $$y = x^{2/3},$$ $$x=0$$ Если решать напрямую, то получаются довольно громоздкие выражения (придётся решать кубическое уравнение, для того чтобы найти точку пересечения графиков, не проблема, но кажется, что можно проще). Есть подозрение, что при переходе в полярную систему координат можно получить что-то красивое, однако ничего хорошего у меня нащупать не вышло. Буду признателен, если кто-то поделится своими размышлениями. задан 9 Июн '13 4:33 
zhildemon
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
В последнем действии ошибка. После потенцирования получится то, с чего начали. Ваше преобразование соответствует тому, как если бы вместо произведений были суммы: $%1/2+\ln(24-x^2)$% и т.п. Тогда получилось бы именно то, что написано. отвечен 9 Июн '13 19:53 
falcao так что насчёт варианта попроще? может при переходе в новую систему координат можно получить что-то более-менее приятное?
(21 Июн '13 12:51)
zhildemon
1
Тут только численными методами можно решить -- если имеется в виду, что в условии нет никаких опечаток. Можно сделать замену типа тригонометрической, но ничего хорошего при этом всё равно не получается.
(21 Июн '13 17:38)
falcao
|
спасибо всем, кто пытался решить, но до меня наконец дошло, что проще было сразу разбить на 2 интеграла: площадь I четверти круга и площадь области, ограниченной линиями y = 0, и первыми двумя уравнениями из задания... тогда разность этих интегралов даёт искомую площадь
А что у Вас получилось в результате? Получается ли хороший ответ? Там ведь при втором способе всё равно надо знать точку пересечения графиков, интегрируя по $%y$% от нуля до некоторого значения?
хм, ваша правда, я чуть-чуть повертел исходные данные, и через используя логарифмирование, а после, потенцируя, избежал кубического уравнения и получил искомую точку, решение по-прежнему не очень элегантно смотрится... ну или совсем не элегантно, если быть точным
точка: $%(\sqrt{\frac{e^{1/3}}{4}+24} - \frac{e^{1/6}}{2})^{2/3}$%
Каким образом удаётся решить это уравнение через логарифмирование? Мне кажется, тут если что-то и возможно, то нахождение приближённого решения. Как у Вас получилось то значение через $%e$%, которое здесь написано?
Ещё одно замечание по ходу дела: бывают кубические уравнения, корни которых хорошо выражаются через синусы или косинусы углов типа $%pi/7$% или $%\pi/9$%, но здесь вроде бы не тот случай. Я подозреваю, что тут что-то не то с показателями. По идее, должно как-то использоваться то, что $%24=8+16$%, то есть решением уравнения должна быть какая-то степень двойки -- возможно, с полуцелым показателем. Если чуть-чуть изменить условие, то можно этого добиться.
может я и перемудрил, но $$ y=(24-x^2)^{1/2}$$
$$ln(y) = \frac{1}{2}ln(24-x^2)$$ со 2-м аналогично, также выношу степень, приравниваю, получаю: $$\frac{1}{2}ln(24-x^2)=\frac{2}{3}ln(x)$$ потенцирую по основанию e: $$e^{1/2}(24-x^2)=e^{2/3}x$$ выделяю полный квадрат, нахожу корни квадратного уравнения, избавляюсь от отрицательного... как-то так... и сдаётся мне, что я где-то накосячил, потому что корень кубического уравнения и этот не совпадают
точно... в полярной системе координат вертел, тоже не очень удобно всё решается... брошу я это дело на время, 4-й час ночи, в 8:30 экзамен по другому предмету... на досуге ещё посмотрю
Я попытался решить возникающее кубическое уравнение формулой Кардано и получается такой ответ: $%x=\sqrt{23+\sqrt[3]{-793+48\sqrt{318}}+\sqrt[3]{-793-48\sqrt{318}}}$%