$$\sum_{k = 1}^{\infty} (-1)^{k - 1} \frac{sinkx}{k(k + 1)}$$

задан 26 Фев 2:16

Представьте ряд как мнимую часть ряда, где синус заменён на e^{ikx}. При z=e^{ix} это функция от z. Её производная даёт известный ряд, который выражается через логарифм. Интегрируя, имеем f(z)=(1+z)ln(1+z)/z. Подставляем z=e^{ix}, и выделяем мнимую часть. У меня вышло x(1+cos x)/2-(sin x)ln(2cos(x/2)). Проверил в Maple на графиках -- удивительно, что всё совпало (считал я довольно бегло на бумаге).

(26 Фев 2:43) falcao
1

Необязательно дифференцировать\интегрировать. Достаточно представить $%\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$%. Получится два ряда первый совсем известен, а второй домножить на z и тоже станет известен.

(26 Фев 4:22) caterpillar

@caterpillar: да, так будет проще, конечно. Я отметил про себя этот момент, но не сообразил, что с использованием тождества всё получится намного быстрее.

(26 Фев 9:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,552
×751
×75
×20

задан
26 Фев 2:16

показан
72 раза

обновлен
26 Фев 9:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru