|
Доказать, что множество, заданное неравенством $%x^2+y^2-z \le 0$%, выпукло P.S. я доказал, поочерёдно рассматривая сечения плоскостями Oxy Oxz (Oyz аналогично Oxz), но полагаю, что можно воспользоваться неравенством Йенсена, однако адаптировать его для трёхмерного случая не выходит, я запутался немного, если кто-то подскажет как оно выглядит, буду признателен задан 9 Июн '13 10:54 
zhildemon |
|
Определение выпуклых множеств достаточно проверять для пары точек $%(x,y,z)$% и $%(X,Y,Z)$%, принадлежащей границе множества... то есть удовлетворяющих уравнению... $%x^2+y^2=z, \; X^2+Y^2=Z$%... Неравенство $%(ax+bX)^2+(ay+bY)^2\le (az+bZ)%$% проверяется в лоб, если за счёт уравнений избавиться от переменной $%z$% и заметить, что при $%a,b\in[0;1] \; \& \; a+b=1$% верно равенство $%a-a^2=b-b^2=ab$%... отвечен 9 Июн '13 11:55 
all_exist почему-то казалось что для трёхмерного случая придётся использовать 3 параметра, а оказывается по-прежнему можно обойтись одним: а и (1-а)... спасибо
(9 Июн '13 13:24)
zhildemon
1
@zhildemon: Параметра всегда два, так как берётся линейная комбинация двух концов отрезка. В каком пространстве всё происходит, никак не влияет на процесс проверки.
(9 Июн '13 13:41)
falcao
а если бы множество задавалось так: $%x^2+y^2+z^2+t^2 \le 1$% ? можно было бы проделать то же самое? не подскажете, где можно подробнее ознакомиться с теорией по данному вопросу?
(9 Июн '13 14:43)
zhildemon
@zhildemon: здесь всё совершенно аналогично. Теории как таковой тут не надо -- достаточно определения выпуклости. Неравенство рассматривается отдельно по каждой координате, а потом всё суммируется. Заметьте, что здесь не рассматривается среднее значение разных координат, как могло бы быть в других ситуациях -- они вообще не складываются между собой. Под неравенством я здесь понимаю $%(a_1x_1+a_2x_2)^2\le a_1x_1^2+a_2x_2^2$%, где $%a_1,a_2\ge0$%, $%a_1+a_2=1$%, и так же для остальных координат.
(9 Июн '13 15:49)
falcao
о, дошло) спасибо
(9 Июн '13 19:00)
zhildemon
|
А по определению выпуклости пробовали?
Если нужно свести все к одной переменной, возмите парамтризацию. Отрезок параметризуется так: $%x=x_0+(x_1-x_0)t, y=y_0+(y_1-y_0)t,0\le t\le 1$%
Хм, и правда, насчёт параметра я и не подумал, спасибо за идею... по определению можно, но я полагал, что неравенство Йенсена допустимо и для многомерных случаев, в силу теории, которую нам дали, только не представлял как это, в универе мы затронули выпуклый анализ достаточно поверхностно пока что, хотел разобраться именно с данным подходом