Здравствуйте, помогите, пожалуйста, что значит: Составить матрицу линейного оператора ортогональной проекции пространства на прямую x/1=y/(-3)=z/2 в базисе I, j, k. И как найти собственные числа, собственные векторы и инвариантные подпространства любого ЛОП.

задан 1 Мар 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть дана точка (a,b,c). Проведём через неё плоскость, перпендикулярную прямой. Направляющий вектор прямой дан в знаменателях: (1,-3,2). Значит, плоскость имеет уравнение 1(x-a)-3(y-b)+2(z-c)=0.

Теперь найдём точку пересечения этой плоскости с прямой. Точка прямой имеет вид (x,y,z)=t(1,-3,2). Подставим координаты точки в уравнение плоскости: (t-a)-3(-3t-b)+2(2t-c)=0, откуда t=(a-3b+2c)/13. Значит, для координат точки пересечения получается

x=(a-3b+2c)/13

y=-3(a-3b+2c)/13

z=2(a-3b+2c)/13

Это и есть ортогональная проекция точки (a,b,c) на прямую из условия. Теперь берём векторы базиса i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1), и смотрим, в какие векторы они переходят при проекции. Координаты записываем в столбцы матрицы. Это и есть, по определению, матрица линейного оператора.

Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц и операторов подробно описана в учебниках и задачниках. Что касается инвариантных подпространств, то в общем случае процедура их нахождения может быть сложна. Здесь же можно рассуждать геометрически. Ясно, что нулевое подпространство инвариантно, как и само R^3. Остаются одномерные (прямые) и двумерные (плоскости). Они должны отображаться в себя. С прямыми всё ясно, и это фактически то же, что собственные векторы. Плоскости же надо брать проходящими через прямую или перпендикулярные ей. Остальные не инвариантны.

ссылка

отвечен 1 Мар 22:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,452
×76

задан
1 Мар 21:35

показан
110 раз

обновлен
1 Мар 22:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru