Пусть $% V = R[x]_{\leqslant2} $% — пространство многочленов степени не выше 2 от переменной x с действительными коэффициентами. Пусть $% (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) $% — базис пространства $%V^*$% , двойственный к базису

$$ -1 + x +2x^2,\quad 1-11x-11x^2,\quad -5+6x^2 $$

Пространства V, а $% (f_1, f_2, f_3) $% — базис пространства V, для которого двойственным является базис $%(p_1, p_2, p_3)$% пространства $%V^*$% , где

$$p_1(f)=f(1),\quad p_2(f)=f'(-1),\quad p_3(f)=\frac{3}{2}\int_{0}^{2} f(x) \text{d}x$$

Рассмотрим линейную функцию $%\alpha \in V^*$%, имеющую в базисе $% (\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3) $% координаты (4, -4, 1), и многочлен $%h \in V$%, имеющий в базисе $% (f_1, f_2, f_3) $% координаты (4, -3, 3). Найдите значение $%\alpha (h)$%.

Само значение можно не искать, напишите алгоритм для решения задачи

задан 1 Мар 22:14

изменен 1 Мар 22:20

осталось ещё 298 человек... )))

но здесь вопрос набран нормальным образом...

(1 Мар 22:44) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение задачи состоит в постепенном "разматывании" определений. Прежде всего, $%\alpha=4\varepsilon_1-4\varepsilon_2+\varepsilon_3$% по определению того, что такое координаты. Аналогично, $%h=4f_1-3f_2+3f_3$%. Теперь $%\alpha(h)$% выражается по линейности через значения $%\varepsilon_i(f_j)$%.

Про $%\varepsilon_1$% известны его значения $%1$%, $%0$%, $%0$% на векторах $%-1+x+2x^2$%, ... . По ним, находя обратную матрицу, узнаём значения $%\varepsilon_1$% на векторах $%1$%, $%x$%, $%x^2$%. Аналогично для $%\varepsilon_2$%, $%\varepsilon_3$%.

Если мы сумеем явно найти вид $%f_1$%, $%f_2$%, $%f_3$%, то $%\varepsilon_i(f_j)$% мы вычислим. Покажем, как это сделать на примере $%f_1$%. По определению, $%p_1(f_1)=1$%, $%p_2(f_1)=0$%, $%p_3(f_1)=0$%. Полагая $%f_1(x)=a+bx+cx^2$%, имеем систему из трёх уравнений на коэффициенты. По-моему, тут получится $%f_1(x)=10-6x-3x^2$%. Аналогично вычисляется всё остальное.

Понятно, что никаких принципиальных препятствий тут нет, но нужно некоторое терпение, чтобы довести подсчёты до конца.

ссылка

отвечен 2 Мар 0:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,457
×1,291
×427
×84

задан
1 Мар 22:14

показан
95 раз

обновлен
2 Мар 0:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru