1. Доказать, что если в группе G выполняется соотношение x*x = 1, то группа G коммутативная
  2. Доказать, что в поле из n элементов выполняется тождество x^n = x. (x^n обозначено x в степени n)

задан 8 Мар 8:51

Оба факта стандартны.

1) Тождество xx=1 означает, что любой элемент равен своему обратному. Отсюда ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba.

2) Элементы, отличные от нуля, образуют группу порядка n-1. Поэтому x^{n-1}=1 для любого такого элемента по следствию из теоремы Лагранжа. Тем самым, x^n=x для ненулевого x, а для x=0 это также верно.

(8 Мар 12:41) falcao

Спасибо, за ответ!

(8 Мар 13:14) Алан

Извините,а как вы можете это объяснить ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba.

(9 Мар 18:51) Алан

@Алан: первое равенство: элемент ab равен своему обратному (как и любой элемент группы). Второе равенство выполнено всегда, для любой группы. Его надо знать, оно относится к числу простейших (элемент, обратный произведению, равен произведению обратных, взятых в обратном порядке). Третье равенство использует то, что a и b равны своим обратным.

(9 Мар 20:56) falcao

Есть ещё такое доказательство, не использующее обратных элементов: ab=a1b=a(abab)b=(aa)(ba)(bb)=1ba1=ba.

(9 Мар 20:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×997
×60
×22

задан
8 Мар 8:51

показан
138 раз

обновлен
9 Мар 20:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru