олимпиада - Уравнение с целой частью

Положим $%k=1004$%. При любом положительном $%k$% справедливо неравенство $%\sqrt{k^2+1} < k+\frac1{2k}$%, которое легко проверяется возведением в квадрат. Поэтому $%2k\sqrt{k^2+1} < 2k^2+1$%, откуда ясно, что целая часть числа $%2k\sqrt{k^2+1}$% равна $%2k^2$%. Таким образом, правая часть уравнения равна $%2nk^2$%. Сокращая обе части уравнения на $%2k$%, приходим к равносильному равненству $%\lfloor{n\sqrt{k^2+1}}\rfloor=nk$%. Последнее означает, что $%n\sqrt{k^2+1} < nk+1$%. Возводя в квадрат и упрощая, имеем $%n^2 < 2nk+1$%, что можно переписать в виде $%(n-k)^2 < k^2+1$%. Таким образом, $%|n-k| < \sqrt{k^2+1}$%, то есть $%k-\sqrt{k^2+1} < n < k+\sqrt{k^2+1}$%. Первое неравенство выполнено для любого натурального $%n$%, поэтому множеством решений уравнения будут все натуральные $%n$%, меньшие $%k+\sqrt{k^2+1}$%, то есть все $%n\le2k$%. В данном случае это все $%n$% от $%1$% до $%2008$% включительно.