|
Все таверны в царстве принадлежат трём фирмам. В целях борьбы с монополиями царица Екатерина издала следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более $%60\%$% всех таверн и число её таверн делится на 5, то у этой фирмы остаётся только пятая часть её таверн, а остальные закрываются. Могло ли так случиться, что через три дня у всех фирм стало меньше таверн? (Новые таверны в это время открываться не могут.) (По мотивам задачи И. Ященко и А. Шаповалова) задан 11 Мар '20 1:18 
Казвертеночка |
|
Пусть было x, y, z таверн соответственно. Если произошло всеобщее уменьшение, то в каждый из трёх дней закрывались разные фирмы. Пусть x > (3/2)(y+z), что равносильно принадлежности первой фирме более 60% таверн. После закрытия остаётся x/5, y, z, и далее пусть y > (3/2)(x/5+z). Имеем 2x/3-z > y > 3x/10+3z/2, то есть 11x/30 > 5z/2, откуда z < 11x/75=(11/15)(x/5). Тем самым, неравенство z > (3/2)(x/5+y/5), необходимое для закрытия таверн третьей фирмы, влечёт z > (3/2)(x/5), что является противоречием. отвечен 11 Мар '20 2:32 
falcao 1
@falcao, большое спасибо! В оригинальном условии (на ММО) было не $%60\%$%, а $%50\%$% и там ответ положительный: Да, так могло случиться. Например, если у первой фирмы было 45 таверн, у второй 25, а у третьей 15. Тогда через день у них будет 9, 25 и 15 соответственно, через два дня — 9, 5 и 15, а через три дня — 9, 5 и 3. Источник: http://math-prosto.ru/index.php?page=pages/forum/topic.php&topic=1028
(11 Мар '20 3:18)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка: естественно поставить вопрос о наименьшем проценте, когда это дело работает.
(11 Мар '20 3:21)
falcao
@falcao, так и я о том же. Мне поначалу казалось, что этот процент равен Золотому Сечению, но Вы опровергли мою догадку.
(11 Мар '20 3:23)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка: я сейчас прикидывал -- при закрытии пятой части там получается кубическое уравнение. Процент чуть выше 50. Где-то 51,8% подходит, а 51,9% -- уже нет. Интересно, какая там зависимость от другого параметра -- если пятую часть заменить на четвёртую или шестую.
(11 Мар '20 9:23)
falcao
@falcao, на четвёртую, по-моему, даже половины не получится.
(11 Мар '20 12:41)
Казвертеночка
1
@Казвертеночка: я по дороге на работу выписал уравнение, связывающее между собой два параметра. Оно кубично по одному и квадратично по другому. Поэтому можно будет подставить и проверить.
(11 Мар '20 14:33)
falcao
1
@Казвертеночка: явная формула там такая. Пусть $%p\in(0,1)$% -- процент (для 60% это 0.6). Тогда коэффициент уменьшения равен $%\lambda=\frac{2p^2-3p+\sqrt{4p-3p^2}}{2p^2}$%. Для 60% недостаточно уменьшать даже в 10 раз. А, скажем, для 40% можно уменьшать даже вдвое.
(12 Мар '20 0:43)
falcao
@falcao, большое спасибо!
(13 Мар '20 0:50)
Казвертеночка
показано 5 из 8
показать еще 3
|