Здравствуйте! Нужно найти максимум функции $$\min(\tfrac{x_1}{2}, 2x_2, x_3^2)$$ при ограничении $$x_1 + x_2 + x_3 = \tfrac{51}{2}$$ и соответствующие максимизирующие значения переменных $%x_1, x_2, x_3$%. Это задача просто на сообразительность или нет? Я пока не знаю, как решать... :(

задан 13 Мар 21:45

изменен 14 Мар 1:22

@Math_2012: попробуйте рассмотреть случаи, когда x1/2<=2x2,x3^2 и т.п.

(13 Мар 22:03) falcao

странная задача... такое ощущение, что не хватает каких-то условий типа $%x_1, x_2, x_3 \ge 0$%... иначе устремляем $%x_1$% к минус бесконечности... туда же будет стремится значение функции...

(13 Мар 23:14) all_exist

Да, наверное, не хватает ограничений, но в условии больше ничего не было... Наверное, просто забыли написать.

(16 Мар 22:43) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут нужны ограничения типа неотрицательности значений переменных. В противном случае максимум не достигается (x3 устремляем к минус бесконечности, x1, x2 к плюс бесконечности).

При дополнительном условии x1,x2,x3>=0 решение такое. Попробуем рассмотреть случай, когда числа под знаком минимума равны. Полагаем x3=x, x1=2x^2, x2=x^2/2. Подстановка в условии даёт квадратное уравнение 5x^2+2x-51=0. Приведённый дискриминант равен D/4=256=16^2, что косвенно показывает, что мы на верном пути. Положительный корень равен x=3. Это даёт значения x1=18, x2=9/2, x3=3, где минимум трёх чисел равен 9. Осталось показать, что это значение оптимально.

От противного: допустим, что минимум больше 9, то есть x1 > 18, x2 > 9/2, x3^2 > 9. Из положительности делаем вывод, что x3 > 3, и тогда x1+x2+x3 > 51/2 -- противоречие.

ссылка

отвечен 14 Мар 0:20

если за счёт ограничения избавиться от одной переменной, то можно нарисовать график функции $%f(x;y)=\min\Big(\frac{x}{2};\;2y; \;(25.5-x-y)^2\Big)$%... на множестве $%x\ge 0$%, $%y\ge 0$%, $%25.5-x-y\ge 0$%... Получится пирамида с одной "параболической" гранью...

(14 Мар 8:31) all_exist

@all_exist: наверное, можно, но здесь, судя по всему, числа специально так подбирали, чтобы работали более простые соображения.

(14 Мар 10:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×54
×41
×3

задан
13 Мар 21:45

показан
127 раз

обновлен
16 Мар 22:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru