Выяснить, какое из чисел больше
$%\log_{2012}2013$% или $%\log_{2013}2014$%

задан 9 Июн '13 21:11

изменен 10 Июн '13 20:45

Angry%20Bird's gravatar image


9125

а откуда эта задачка?

(5 Янв '14 9:44) IvanLife

Из очного тура олимпиады Покори Воробьевы Горы, не помню какого года

(5 Янв '14 12:29) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если вычесть из каждого числа по единице, то окажется, что сравнить надо $%f(2012)$% и $%f(2013)$%, где $%f(n)=\log_n\left(1+\frac1n\right)$%. Фактически, требуется выяснить характера возрастания/убывания этой последовательности (функции).

Легко видеть, что $$f(n)=\frac{\ln\left(1+\frac1n\right)}{\ln n},$$ где числитель убывает, а знаменатель возрастает. Отсюда $%f(2012) > f(2013)$%, то есть первое из чисел больше.

ссылка

отвечен 9 Июн '13 21:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Запишите разность сравниваемых чисел... Перейдите к одинаковому основанию... приведите разность дробей к общему знаменателю...

Потом обозначьте $%\ln 2013 = a$% и представьте $%\ln 2012 = a - \alpha,\; \ln 2014=a+\beta$%... из выпуклости вверх логарифмической функции следует, что $%\alpha>\beta$%... откуда и получается нужное неравенство для оцениваемой разности...

ссылка

отвечен 9 Июн '13 21:57

что за 'выпуклость верх'? как-то это не строго математически

(9 Июн '13 22:16) SenjuHashirama

@senjuhashirama, Ну, это вообще-то строго ... просто я не знаю какой терминологией Вы привыкли пользоваться...

(9 Июн '13 22:20) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Попробуем решить с топором и кувалдой. $$2012^{x} = 2013$$ $$2012^{y} = 2014$$ $$x-y = ln2013/ln2012 - ln2014/ln2013 = ln 2013^{2} - ln2014 ln2012$$ (знаменатель отбрасываем, потому что нам надо определить: положительна разность или отрицательна?) Знак не изменится, если перейти от логарифмов к самим числам. $$2013^{2} - 2014*2012 > 0$$, потому что квадрат числа всегда больше произведения двух натуральных чисел, стоящих рядом слева и справа от него. Итак, x > y. Первое число больше второго... Не знаю, как попала эта задача в январь 2014-го года

ссылка

отвечен 7 Янв '14 1:11

@nikolaykruzh...: такое решение не проходит. В тот момент, когда мы применяем неравенство $%2013^2 > 2014\cdot2012$%, и от него переходим к неравенствам для логарифмов, получается $%\ln 2013^2 > \ln (2014\cdot2012)$%, но логарифм произведения равен сумме логарифмов, в то время как нам требуется их произведение.

(7 Янв '14 5:43) falcao

@falcao. Верно! Спасибо за правку. Учту для таких случаев!

(7 Янв '14 11:34) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×218

задан
9 Июн '13 21:11

показан
936 раз

обновлен
7 Янв '14 11:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru