|
Выяснить, какое из чисел больше задан 9 Июн '13 21:11 
SenjuHashirama |
|
Если вычесть из каждого числа по единице, то окажется, что сравнить надо $%f(2012)$% и $%f(2013)$%, где $%f(n)=\log_n\left(1+\frac1n\right)$%. Фактически, требуется выяснить характера возрастания/убывания этой последовательности (функции). Легко видеть, что $$f(n)=\frac{\ln\left(1+\frac1n\right)}{\ln n},$$ где числитель убывает, а знаменатель возрастает. Отсюда $%f(2012) > f(2013)$%, то есть первое из чисел больше. отвечен 9 Июн '13 21:55 
falcao |
|
Запишите разность сравниваемых чисел... Перейдите к одинаковому основанию... приведите разность дробей к общему знаменателю... Потом обозначьте $%\ln 2013 = a$% и представьте $%\ln 2012 = a - \alpha,\; \ln 2014=a+\beta$%... из выпуклости вверх логарифмической функции следует, что $%\alpha>\beta$%... откуда и получается нужное неравенство для оцениваемой разности... отвечен 9 Июн '13 21:57 
all_exist что за 'выпуклость верх'? как-то это не строго математически
(9 Июн '13 22:16)
SenjuHashirama
@senjuhashirama, Ну, это вообще-то строго ... просто я не знаю какой терминологией Вы привыкли пользоваться...
(9 Июн '13 22:20)
all_exist
|
|
Попробуем решить с топором и кувалдой. $$2012^{x} = 2013$$ $$2012^{y} = 2014$$ $$x-y = ln2013/ln2012 - ln2014/ln2013 = ln 2013^{2} - ln2014 ln2012$$ (знаменатель отбрасываем, потому что нам надо определить: положительна разность или отрицательна?) Знак не изменится, если перейти от логарифмов к самим числам. $$2013^{2} - 2014*2012 > 0$$, потому что квадрат числа всегда больше произведения двух натуральных чисел, стоящих рядом слева и справа от него. Итак, x > y. Первое число больше второго... Не знаю, как попала эта задача в январь 2014-го года отвечен 7 Янв '14 1:11 
nikolaykruzh... @nikolaykruzh...: такое решение не проходит. В тот момент, когда мы применяем неравенство $%2013^2 > 2014\cdot2012$%, и от него переходим к неравенствам для логарифмов, получается $%\ln 2013^2 > \ln (2014\cdot2012)$%, но логарифм произведения равен сумме логарифмов, в то время как нам требуется их произведение.
(7 Янв '14 5:43)
falcao
@falcao. Верно! Спасибо за правку. Учту для таких случаев!
(7 Янв '14 11:34)
nikolaykruzh...
|
а откуда эта задачка?
Из очного тура олимпиады Покори Воробьевы Горы, не помню какого года