3
2

А) Докажите, что среди чисел вида $%2^n+4^k,\quad n,k\in\mathbb{N}$% содержится бесконечное множество точных квадратов.

Б) ...точных кубов.

В) Теперь докажите, что нет ни одной четвёртой степени.

задан 16 Мар '20 1:26

10|600 символов нужно символов осталось
3

A) 6^2=36=4+32=4^1+2^5, и далее домножаем на степень четвёрки: (6*2^m)^2=4^{m+1}+2^{2m+5}.

Б) При n=2k имеем 2^{2k+1}, и достаточно брать k=3m+1. Тогда 2^{6m+2}+4^{3m+1}=(2^{2m+1})^3.

В) Случай n=2k уже разобран -- там будет 2 в степени с нечётным показателем. Пусть n < 2k. Тогда сумма делится на 2^n и не делится на 2^{n+1}, откуда n кратно 4. При n > 2k аналогично получаем, что k кратно 2. В обоих случаях получается степень 16 плюс степень двойки, где первая есть собственный делитель второй. Сокращая на степень 16, имеем число вида 2^r+1, про которое надо доказать, что это не 4-я степень.

Допустим, что это квадрат. Тогда 2^r=(N-1)(N+1) есть произведение двух степеней двойки, отличающихся на 2. Это могут быть только 2 и 4. Тогда r=3, что даёт квадрат, но не 4-ю степень.

Без уравнения Ферма для показателя 4 удалось-таки обойтись :)

ссылка

отвечен 16 Мар '20 2:06

@falcao, большое спасибо! Стоит отметить, что для каждого нечётного натурального $%m$% среди чисел указанного в задаче вида имеется бесконечно много точных $%m$%-ных степеней. А вот степень с чётным показателем может быть только квадратом. Вообще, интересная задача!

(16 Мар '20 2:17) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: думаю, что все случаи истинных степеней тут можно явно описать.

(16 Мар '20 2:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,404
×80
×18
×5
×2

задан
16 Мар '20 1:26

показан
350 раз

обновлен
16 Мар '20 2:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru