Hайти сумму $$\sum_{k=1}^m \binom{m}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k\binom{2k}{k}$$

задан 18 Мар 23:25

изменен 24 Мар 23:30

Для нечётного $%m:$% $%-1$%. Для чётного $%m:$% $%2^{-m}\binom{m}{m/2}$%-1.

(25 Мар 2:20) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я проверял на компьютере, что при нечётном будет -1, а при чётном закономерность не разгадал. Решения не знаю. Возможно, тут как-то надо применить производящие функции.

(25 Мар 2:24) falcao

@falcao: Я ответ "угадал". Мне кажется, что подобные суммы есть в книге Риордана.

(25 Мар 3:05) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: я на компьютере видел ответ для начальных значений m, но для чётного случая не стал его разгадывать. Вид ответа, кстати, может помочь и решение найти.

А что за книга Риордана? Какие там могут быть методы?

(25 Мар 4:13) falcao

@falcao: Тождество Р.Доусона на стр. 76 скачать здесь.

(25 Мар 12:28) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: спасибо за информацию. Меня в первую очередь интересовал уровень сложности этой задачи. Видимо, "на коленке" это всё-таки не решается.

(25 Мар 13:14) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$a_n=\dfrac{(-2)^n}{n!}\cdot\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k\binom{2k}{k}=$$ $$=\left(\dfrac{(-2)^n}{n!}\right)\cdot \dfrac{C_0^0}{0!}+\left(\dfrac{(-2)^{n-1}}{(n-1)!}\right)\cdot \dfrac{C_2^1}{1!}+\left(\dfrac{(-2)^{n-2}}{(n-2)!}\right)\cdot \dfrac{C_4^2}{2!}+ \ . . .\ +\left(\dfrac{(-2)^0}{0!}\right)\cdot \dfrac{C_{2n}^n}{n!}$$

Найдем производящую функцию для последовательности: $%b_m=\dfrac{C_{2m}^m}{m!}$%

$$f(x)={b_0}x^0+{b_1}x^1+{b_2}x^2+\ ...\ \ \ \ ( f(0)=1\ , \ f'(0)=2)$$

$$nb_n=b_{n-1}\cdot\left(4-\dfrac{2}{n}\right)\Rightarrow \ \ xf''(x)+(1-4x)f(x)-2f(x)=0$$

$$f(x)=e^{2x}J_0(2ix)=e^{2x}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{x^{2k}}{(k!)^2}$$ ($%\ \ J_0(z)\ -$%функция Бесселя 0-го порядка )

Производящая функция для последовательности $%a_n:$% $$g(x)=e^{-2x}f(x)=J_0(2ix)=\sum_{k=0}^\infty\dfrac{x^{2k}}{(k!)^2}$$

Поэтому: $$\sum_{k=0}^{2m+1} \binom{2m+1}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k\binom{2k}{k}=0$$

$$\sum_{k=0}^{2m} \binom{2m}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k\binom{2k}{k}=\dfrac{1}{4^m}C_{2m}^m$$

ссылка

отвечен 2 Апр 18:28

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×108

задан
18 Мар 23:25

показан
134 раза

обновлен
2 Апр 18:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru