$$ \frac{a}{bc} $$ и $$(a\div b )\div c$$

Если они равны, то я не могу понять, почему (хотя учебник утверждает, что они равны). Я знаю только одно выражение, которое равно первому. Это $$a\div(bc)$$

задан 10 Июн '13 18:35

изменен 10 Июн '13 20:39

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
3

1-ое действие в скобках: $%a÷b$% $%= \frac{a}{b} $%
2-ое действие, полученное выражение делить на $%c$%, выполним его:
$%\frac{a}{b}$%÷$%c$% = $%\frac{a}{b}$%÷$%\frac{c}{1}$% при делении, дробь $%\frac{c}{1}$% переворачиваем и заменяем знак деления на умножение: $%\frac{a}{b}$%*$%\frac{1}{c}$%; при этом числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель и в итоге имеем:$%\frac{a}{bc}$%

ссылка

отвечен 10 Июн '13 19:09

Теперь я вижу, что это так, теперь я понимаю, что эти выражения равны. Но увы, от меня все еще ускользает та взаимосвязь, та закономерность, что связывает выражения $$(a\div b )\div c$$ и $$a\div(bc)$$

(10 Июн '13 19:44) I_Robot

Я конечно понимаю, что эти выражения равны. Но чтобы обнаружить данное равенство, мне надо сделать вычисления в обеих случаях и сравнить результаты. Я не могу просто взглянуть на эти выражения и сказать "ага, эти выражения равны". Я что-то упустил в своем обучении?

(10 Июн '13 19:46) I_Robot
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь уже всё рассказали, но я считаю полезным добавить кое-какую информацию. Прежде всего, надо дать ответ на вопрос, что представляет собой операция деления. Теоретические основы здесь таковы. Рассмотрим уравнение $%ax=b$%, где $%a,b$% -- фиксированные числа, $%x$% -- переменная. Доказывается, что если $%a\ne0$%, то это уравнение имеет решение, и притом единственное. Такое решение принято называть частным чисел $%b$% и $%a$% и обозначать через $%b:a$%, или $%b/a$%, или каким-то ещё похожим образом.

Отсюда следует известный принцип проверки, называемый "деление проверяется умножением". Допустим, кто-то утверждает, что $%x=b/a$%. Это значит, что $%a\ne0$%, и при умножении $%a$% на $%x$% (или $%x$% на $%a$%, что то же самое), должно получиться $%b$%.

Поэтому, если Вы хотите проверить, что число $%x=(a:b):c$% в самом деле равно $%a:(bc)$%, то надо домножить $%x$% на $%bc$% и убедиться в том, что результат будет равен $%a$%. Сделаем это замедленно: прежде всего, домножать можно на $%cb$%, так как это то же, что и $%bc$% ввиду переместительности умножения. Далее, домножение на $%cb$% можно производить в два этапа: сначала умножить на $%c$%, а потом результат умножить на $%b$%, то есть $%x(cb)=(xc)b$%. Это свойство сочетательности умножения.

Теперь понятно, что если $%x=(a:b):c$% мы умножим на $%c$%, то получится $%a:b$%, и если далее домножить на $%b$%, то и будет $%a$%. Тем самым, проверку можно считать завершённой.

Конечно, при решении примеров так делать не надо, а надо пользоваться готовыми правилами. Но в основе доказательства этих правил так или иначе лежит определение частного (или операции деления, что по сути не отличается). А на практике, конечно, мы используем правила умножения и деления дробей. Во втором случае, если надо разделить $%a/b$% на $%c/d$%, то мы умножаем первую дробь на обратную второй и получаем $%(ad)/(bc)$%. Такое правило один раз должно доказываться (при помощи рассуждений наподобие приведённых выше), а потом уже оно используется в готовом виде. Число $%c$% всегда можно представить как дробь $%c/1$%, то есть для $%(a:b):c$% при выполнении действий такого типа мы получим $%(a:b):c=(a:b):(c:1)=(a:b)\cdot(1:c)=(a\cdot1):(bc)=a:(bc)$%. Аналогично, для $%a:(b:c)$% мы получаем $%a:(b:c)=(a:1):(b:c)=(a:1)\cdot(c:b)=(ac):(1\cdot b)=(ac):b$%.

Эти вычисления проще воспринимаются, когда мы пишем дроби с числителями и знаменателями, но одно равноценно другому.

ссылка

отвечен 10 Июн '13 20:04

Завтра все перечитаю, на свежую голову. А сейчас от меня что-то явно ускользает. Хотя вроде бы все то, что Вы говорите мне уже давно известно. Сейчас же я прошу Вас ответить только на один вопрос. Возможно ли, по идее, в моем случае просто взглянуть на выражения и сказать, что они равны? Не делая никаких вычислений, ни арифметических, ни алгебраических.

(10 Июн '13 20:49) I_Robot

Какие-то вычисления делать всё равно надо, что можно пояснить на таком примере. Допустим, у Вас вместо умножения и деления присутствует сложение и вычитание. И если у меня есть сложное выражение типа a-(b+(c-((d+e)-f)), то я без вычислений знаю, что у меня получится нечто вроде $%a\pm b\pm c\pm d\pm e\pm f$%, но итоговый знак плюс или минус зависит, грубо говоря, от чётности числа предшествующих минусов. Точно так же и с делением, когда мы должны определить, в числитель или знаменатель попадёт та или иная буква. Сравните с ситуацией $%(a-b)-c$%. Тут ясно, что перед $%b$% и $%c$% будут минусы.

(10 Июн '13 21:07) falcao

Проблема оказалась в том, что я просто подзабыл как преобразовывать "многоэтажные" дроби в обычные. После того как произвел это преобразование, все стало ясно как день Божий. Однако, я просто на всякий случай, от греха подальше, хочу полностью повторно проработать учебник за 5-ый и 6-ой класс.

(12 Июн '13 12:01) I_Robot
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$(a \div b)\div c = \frac{\frac{a}{b}}{c}=\frac{a}{bc}$$

ссылка

отвечен 10 Июн '13 18:40

Не понимаю =(

(10 Июн '13 18:46) I_Robot
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,395

задан
10 Июн '13 18:35

показан
450 раз

обновлен
12 Июн '13 12:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru