$$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}dx$$

задан 10 Июн '13 18:56

изменен 10 Июн '13 20:38

Angry%20Bird's gravatar image


9125

Надо бы уточнить условие: у Вас вся дробь под корнем, или только числитель?

(10 Июн '13 20:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 10 Июн '13 20:11

изменен 10 Июн '13 20:37

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

Используя гиперболическую подстановку $$x=\operatorname{sh}{t}, \\ dx=\operatorname{ch}{t}\; dt,\\ \sqrt{1+x^2}=\operatorname{ch}{t},$$ получим $$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}dx=\int\frac{\operatorname{ch}^2{t}}{1+\operatorname{ch}^2{t}} \; dt=\int\left(1-\dfrac{1}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}} \right)\;dt=t-\int\dfrac{dt}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}}.$$ Поскольку $$1+{\operatorname{ch}^2{t}}=1+\dfrac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}=\dfrac{e^{2t}+6+e^{-2t}}{4}=\dfrac{e^{4t}+6e^{2t}+1}{4e^{2t}},$$ то $$\int\dfrac{dt}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}}=\int\dfrac{4e^{2t}\;dt}{e^{4t}+6e^{2t}+1} =\int\dfrac{2d(e^{2t})}{e^{4t}+6e^{2t}+1}= \\ = 2\int{\dfrac{du}{u^2+6u+1}}.$$ Далее интегрируем с использованием разложения подынтегральной функции на простые дроби.

ссылка

отвечен 10 Июн '13 20:37

изменен 10 Июн '13 20:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×819

задан
10 Июн '13 18:56

показан
2746 раз

обновлен
10 Июн '13 20:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru