интегралы - Решить интеграл $%\int(\sqrt{1+x^2})/(2+x^2)dx$%

Используя гиперболическую подстановку $$x=\operatorname{sh}{t}, \\ dx=\operatorname{ch}{t}\; dt,\\ \sqrt{1+x^2}=\operatorname{ch}{t},$$ получим $$\int\frac{\sqrt{1+x^2}}{2+x^2}dx=\int\frac{\operatorname{ch}^2{t}}{1+\operatorname{ch}^2{t}} \; dt=\int\left(1-\dfrac{1}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}} \right)\;dt=t-\int\dfrac{dt}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}}.$$ Поскольку $$1+{\operatorname{ch}^2{t}}=1+\dfrac{e^{2t}+2+e^{-2t}}{4}=\dfrac{e^{2t}+6+e^{-2t}}{4}=\dfrac{e^{4t}+6e^{2t}+1}{4e^{2t}},$$ то $$\int\dfrac{dt}{1+{\operatorname{ch}^2{t}}}=\int\dfrac{4e^{2t}\;dt}{e^{4t}+6e^{2t}+1} =\int\dfrac{2d(e^{2t})}{e^{4t}+6e^{2t}+1}= \\ = 2\int{\dfrac{du}{u^2+6u+1}}.$$ Далее интегрируем с использованием разложения подынтегральной функции на простые дроби.