Пусть для дважды дифференцируемой функции f : R → R при любом x ∈ R выполняется |f(x)| <= A, |f''(x)| <= B. Докажите, что также выполняется |f'(x)|<=√(2AB).

задан 22 Мар 17:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Функции, получаемые из f сдвигом начала координат, то есть функции вида f(x+x0), обладают теми же самыми ограничениями на производные. Поэтому достаточно доказать, что производная в нуле по модулю не больше sqrt(2AB).

Рассуждая от противного, допустим, что |f'(0)| > sqrt(2AB). Дополнительно можно считать, что f(0)>=0: в противном случае можно развернуть график функции на 180 градусов, и модули производных (включая вторую) не изменятся.

По теореме Лагранжа о конечных приращениях, |f'(x)-f'(0)|<=B|x| для любого x. Левая часть не меньше |f'(0)|-|f'(x)| в силу неравенства треугольника. Отсюда |f'(x)| >=|f'(0)|-B|x| > sqrt(2AB)-B|x|.

Пусть x принадлежит отрезку от 0 до sqrt(2A/B). Тогда в любой точке интервала производная не обращается в ноль. Поскольку f''(x) существует, функция f'(x) непрерывна, и она не меняет знак на этом интервале. Меняя f на -f, что не влияет, можем считать, что f'(x) > 0 на интервале. Тогда f'(x) > sqrt(2AB)-Bx.

Интегрируя по отрезку, имеем f(sqrt(2A/B))-f(0) > sqrt(2AB)sqrt(2A/B)-(B/2)sqrt(2A/B)^2=A. Получается, что значение функции в точке sqrt(2A/B) строго больше A -- противоречие. Заметим, что при интегрировании непрерывных функций строгие неравенства остаются строгими.

Возможно, тут есть и какое-то более естественное решение.

ссылка

отвечен 23 Мар 1:05

@falcao , спасибо! У меня были первые идеи написать две формулы Лагранжа: f(b) - f(a) =f'(c)(b-a) и f'(d)-f'(e)=f''(g)(d-e), и опредёленным образом умножить их друг на друга. Получались похожие оценки, но не та, возможно если применить Вашу идею о сдвиге, то и получится.

(23 Мар 14:10) lil_tank

@lil_tank: у меня похожая идея тоже была, но я не смог из неё ничего извлечь. Скорее всего, тут есть более простой вариант решения. Может быть, проще рассуждать относительно f': у неё производная небольшая, и интеграл от неё небольшой, и из этого извлекаем ограничения.

(23 Мар 14:33) falcao

@falcao, если я правильно помню, то это задача из учебника Зорича, первого тома (глава по основным теоремам диф. исчисления). Т.е., по Зоричу, интегрирование тут не предполагается, а предполагается, видимо, формула Тейлора. Но над деталями подумать надо.

(24 Мар 19:47) caterpillar

@caterpillar: скорее всего, это взаимозаменяемо. Меня в данном случае заинтересовало то, как полагается решать эту задачу наиболее стандартно. Я пытался рассуждать на "качественном" уровне (то есть в терминах типа "много"-"мало"), и мне показалось, что должен быть какой-то "бесхитростный" способ решения.

(24 Мар 22:00) falcao

@caterpillar: Делая по формуле Тейлора, я всё время упирался в оценки что-то вроде "|f'(x)| < A + B". Эту задачу я взял из подборки задач по теме "производные", так что скорее всего Вы правы, задачу нужно как-то решать с помощью ф.Тейлора и теорем о средних.

(26 Мар 15:29) lil_tank
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,574
×39

задан
22 Мар 17:41

показан
125 раз

обновлен
26 Мар 15:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru