0
1

Пусть G-группа комплексных корней n-ной степени из 1,а $% \varphi$%:Z$%\rightarrow$%G гомоморфизм групп такой ,что $%\varphi$%(1)=$% e^{6πi/n}$%.Напишите формулу ,задающую $%\varphi$%

задан 22 Мар 19:12

По определению гомоморфизма (из аддитивной группы в мультипликативную), ф(k)=ф(1)^k, где произведение переходит в сумму. Это и есть формула: ф(k)=e^{6пik/n}.

(22 Мар 19:18) falcao

Спасибо!!!

(23 Мар 6:49) andrew

По определению гомоморфизма (из аддитивной группы в мультипликативную), ф(k)=ф(1)^k

А откуда это получается?

(23 Мар 20:29) Кирилл010

@Кирилл010: здесь формула имеет вид ф(a+b)=ф(a)ф(b). По индукции, это верно для любого числа элементов. То есть ф(a+b+c)=ф(a)ф(b)ф(с) и так далее. Если взять k элементов, равных 1, то получится ф(1+...+1)=ф(1)...ф(1), то есть ф(k)=ф(1)^k. Но вообще-то всё это относится к простейшим свойствам гомоморфизмов.

(23 Мар 21:37) falcao

А как связано ф(1+...+1) с задачей?

(23 Мар 21:46) Кирилл010

@Кирилл010: в задаче нужно указать формулу, то есть найти значение ф на любом элементе из Z. Если k -- натуральное число, то k есть сумма k единиц, то есть 1+...+1.

(23 Мар 22:01) falcao

Спасибо большое, теперь понял

(23 Мар 22:19) Кирилл010

Вы пишете, что k - натуральное число, которое представимо в виде суммы единиц. А по условию ф из Z в G, тогда как быть с отрицательными целыми числами?

(29 Мар 15:25) andrew

@andrew: я этот момент подробно не стал раскрывать, так как ответ на него простой, но сам вопрос является совершенно законным.

Из простейших свойств гомоморфизмов следует, что обратные элементы переходят в обратные. В данном случае -- противоположный элемент переходит в обратный, то есть ф(-a)=ф(a)^{-1}. Поэтому, если мы уже знаем, что ф(k)=ф(1)^k для целых положительных k, то ф(-k)=ф(1)^{-k}, то есть и для отрицательных всё автоматически верно.

(29 Мар 15:39) falcao

Понятно, спасибо

(29 Мар 16:21) andrew
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,329
×916

задан
22 Мар 19:12

показан
80 раз

обновлен
29 Мар 16:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru