Пусть x(t), y(t) - функции от переменной t, причём x~y при t->a, a∈R. Пусть также f(t) - произвольная непрерывная в окрестности точки a функция. Вопрос, собственно, такой: можно ли утверждать, что в этом случае f(x)~f(y) при t->a?

P.S. Если f дифференцируема в точке а, то всё получается легко, а вот если известна только непрерывность, то возникают сомнения...

задан 24 Мар 19:09

1

Например, $%\dfrac{1}{t}+1\sim\dfrac{1}{t}$% при $%t\to0$%. Возьмите теперь $%f(t)=e^t$%.

(24 Мар 19:41) caterpillar

@caterpillar, спасибо! Видимо, я в чём-то заблуждаюсь)

(24 Мар 20:36) ralfio

@ralfio: эквивалентность означает, что x/y->1. Из этого в общем случае, конечно, не следует f(x)/f(y)->1.

(24 Мар 22:28) falcao

А 0~0? Если да, то неверно что эквивалентность означает x/y->1

(25 Мар 0:47) abc

@abc: я говорю на упрощённом уровне, чтобы было смысловое понимание основных вещей. Все тонкости и оговорки идут уже как бы "вторым эшелоном".

(25 Мар 1:10) falcao

@abc, определение эквивалентности -- это именно условие, что x/y->1. И если что-то этому условию не удовлетворяет, то эквивалентностью не называется.

(25 Мар 4:20) caterpillar

@caterpillar: формально, если одна из величин где-то обращается в ноль, то и вторая, эквивалентная ей, там же должна быть равна нулю. То есть на таком уровне нужна дополнительная "примочка", но она для понимания несущественна.

(25 Мар 6:26) falcao

@falcao, я комментировал вот это: "неверно что эквивалентность означает x/y->1". Это не может быть неверно, т.к. это определение. Насчёт исключительного случая -- тут, скорее всего, по договорённости: либо такое вообще не рассматривается (я за этот вариант:)), либо считать "по определению", как считают 0^0=1 или 0!=1 (ибо это логично)... Согласен с Вами, что для понимания это ничего не даёт. Я до сегодняшнего утра вообще с таким не сталкивался))

(25 Мар 6:35) caterpillar

@caterpillar: я не уверен в том, что определение должно быть именно таким, хотя для практических нужд этого достаточно, да и сам материал часто именно так излагают. Более "подробное" определение -- типа того, что существуют стремящиеся к 1 функции u, v такие, что x=yu, y=xv, несколько "вычурно" и менее понятно. Хотя тонкости там есть почти везде -- хотя бы с условиями на область определения функции, при которых уместно говорить о пределе при x->a.

(25 Мар 6:45) falcao

@falcao, а это определение даёт какие-то дополнительные "плюшки", за исключением того, что эквивалентность нуля нулю по нему получается без оговорок?

(25 Мар 7:12) caterpillar

@caterpillar: наверное, можно придумать какие-то функции типа sin(1/x) и синуса, умноженного на что-то, стремящееся к 1 при x->0. Всё зависит от того, с какой целью мы говорим об эквивалентности. В ряде случаев вообще можно считать, что функции знакоположительны в проколотой окрестности. Но это всё "лекторозависимо", то есть автор курса сам выбирает.

(25 Мар 12:49) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,574

задан
24 Мар 19:09

показан
73 раза

обновлен
25 Мар 12:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru