На каком промежутке теорема существования и единственности гарантирует существование и единственность решения задачи Коши y'=x+y^2, y(0)=1, если уравнение рассматриваем в квадрате |x|<=1, |y|<=1?

задан 25 Мар 1:24

изменен 25 Мар 15:00

вроде как не хватает начальных данных, чтобы считать это задачей Коши...

(25 Мар 2:08) all_exist

@all_exist: меня тоже смутила эта формулировка. Не говоря о том, что функции там гладкие, и решение всегда существует и единственно при заданных y(0), y'(0).

Возможно, имелось в виду что-то другое? Так или иначе, можно проанализировать, при каких значениях y'(0) решение уравнения на [-1,1] будет принимать значения от -1 до 1. Или посмотреть, на какой части отрезка [-1,1] значения функции не выйдут за указанные пределы.

(25 Мар 2:28) falcao

@falcao, Или посмотреть, на какой части отрезка [-1,1] значения функции не выйдут за указанные пределы. - скорее всего это... надо просто взять отрезок из теоремы Пикара... но иногда он по разному записывается, поэтому надо знать в какой форме это излагали ТС...

(25 Мар 3:27) all_exist

@all_exist: а какой там отрезок? Я привык к тому, что всё выполняется в некоторой окрестности, без уточнения. Но там может быть и какая-то явная оценка? В таком виде мне эти факты не известны.

(25 Мар 4:18) falcao
1

@falcao, там в процессе доказательства возникает явный отрезок (надо знать все начальные условия), но, на таком уровне строгости постановки задачи, ничего расписывать не хочется)

(25 Мар 6:27) caterpillar

@caterpillar, вы про этот отрезок? x_0-d - <= x <= x_0+d, где d=min(a,b/m): здесь a и b задают замкнутую область на котором функцию и её производная по игрек непрерывны

(25 Мар 14:34) Kur337

Такого типа, но не это. Вы написали оценку для задачи Коши для уравнения первого порядка. Для уравнения второго порядка оценка другая и там нужен полный комплект условий.

А может, это Вы в исходном вопросе штрих лишний написали просто?

(25 Мар 14:49) caterpillar

@caterpillar, Прошу прощения, там действительно лишний штрих

(25 Мар 15:00) Kur337
1

Ну, тогда разбирайтесь, чему равны a,b,d,m и получайте ответ по той оценке. Правда, мне ещё не нравится условие |y|<=1. Логичнее было бы |y-1|<=1.

(25 Мар 15:05) caterpillar

x_0-d - <= x <= x_0+d, где d=min(a,b/m) - уравнение второго порядка сводится к системе уравнений первого порядка... оценка там такая же, только используются нормы векторов...

(25 Мар 16:06) all_exist

@all_exist, у меня не такая же)) там под минимумом третье выражение есть, обеспечивающее сжимаемость отображения. Но, быть может, просто доказательства разные, так что не настаиваю))

(25 Мар 16:20) caterpillar

@caterpillar, вот мне тоже не очень нравится это условие если брать |x|<=1 и |y-1|<=1 то выходит отрезок [-1/5,1/5]. каким образом можно решить с условием |x|<=1 и |y|<=1

(25 Мар 17:16) Kur337

Никак не решить с таким условием. По теореме нужна двусторонняя окрестность единицы по y, так что такая постановка может быть расценена, как невнимательность составителя задачи.

(25 Мар 17:38) caterpillar

Спасибо всем за помощь!

(25 Мар 19:01) Kur337

Там, конечно, надо брать единичный квадрат вокруг начальной точки (0,1). В противном случае получается неинтересно: ведь y'(0)=y(0)^2+0=1, то есть справа от нуля функция сразу становится больше 1. Думаю, это небрежно составленное условие, хотя сама по себе идея интересна для рассмотрения.

(26 Мар 0:32) falcao
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020

задан
25 Мар 1:24

показан
76 раз

обновлен
26 Мар 0:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru