|
Как решить уравнение? $$16x^3=(11x^2+x-1)\sqrt{x^2-x+1}$$ Что-то я сомневаюсь, что надо все это надо возводить в квадрат, но других идей нету. Может кто-нибудь подскажет, необязательно решать... задан 10 Июн '13 22:42 
SenjuHashirama |
|
ОДЗ $% x\in R.$% Легко проверить, что $%x=0$% не удовлетворяет. 1)Пусть $%x>0$% , разделим обе части уравнения на $%x^3,$% получим уравнение $%16=(11+\frac1x-\frac1{x^2})\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}$%. Можно обозначить $%\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}=t$%. Получится уравнение $%16=(12-t^2)t \Leftrightarrow t^3-12t+16=0 \Leftrightarrow t^3-12t+16=0 \Leftrightarrow (t+4)(t-2)^2=0$% $% \Rightarrow t=-4$% или $%t=2.$% $%-4$% не удовлетворяет. Потом легко решается уравнение $%\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}=2$% возведением в квадрат. Но надо брать только положительные корни. Случай $%x<0 $% рассматривается аналогично, только внести под корень нужно $%-\frac1x,$% получится уравнение $%16=(-11-\frac1x+\frac1{x^2})\sqrt{1-\frac1x+\frac1{x^2}}$%. отвечен 10 Июн '13 23:29 
ASailyan Спасибо Вам !
(10 Июн '13 23:36)
SenjuHashirama
|
|
Поскольку $%x\ne0$%, можно обе части поделить на $%x^3$%, а потом сделать замену $%t=(x-1)/x^2$%. Здесь, правда, есть тонкость: если в правой части мы первый сомножитель делим на $%x^2$%, то второй хотелось бы разделить не на $%x$%, а на $%\sqrt{x^2}$%, то есть на $%|x|$%. Тогда мы получаем $%\pm16=(11+t)\sqrt{1-t}$%, что после возведения в квадрат сводится к кубическому уравнению. Поскольку коэффициенты там получаются довольно большие, искать подбором один из корней лучше сразу. Легко понять, что подходит $%t=-3$%, и тогда кубическое уравнение сводится к квадратному. Ещё проще будет, если сделать дополнительную замену $%z=t+3$%: тогда свободный член кубического уравнения становится равен нулю, и вычисления упрощаются. Ещё лучше положить $%w=8(t+3)$% -- тогда всё становится совсем просто. Для каждого найденного $%t$% далее решается квадратное уравнение $%tx^2=x-1$%. Ввиду того, что мы возводили в квадрат, требуется проверка, и здесь важно обратить внимание на знаки корней. Значениям $%x > 0$% должны соответствовать решения уравнения с $%+16$%, а значениям $%x < 0$%, соответственно, с $%-16$%. В итоге должно оказаться, что уравнение имеет два иррациональных корня. Задача довольно неплохая: она не только рассчитана на владение техникой, но ещё и содержит "подводные камни". Дело в том, что о необходимости проверки при таком способе решения все знают, но подставлять иррациональные значения корней бывает не слишком удобно. отвечен 10 Июн '13 23:48 
falcao |