Необходимо установить изоморфизм факторгруппы G1/H на группу G2. G1={XcGLn(C): det X!=0}-невырожденная матрица n х n над полем C, H={AcGLn(C): |det A|=1}-невырожденная матрица n х n над полем C, модуль определителя которой равен 1, G2=R/{0}. Подскажите алгоритм действия?

задан 26 Мар 21:07

изменен 26 Мар 22:07

@plague: каждой невырожденной матрице над C сопоставляем модуль её определителя. Проверяем, что это гомоморфизм групп (определитель произведения равен произведению определителей, и то же для модулей чисел). Сюръективность очевидна. Ядро равно H. Осталось применить теорему о гомоморфизмах.

(26 Мар 21:22) falcao

@falcao: что значит "каждой невырожденной матрице над C сопоставляем модуль её определителя"? А почему сюръективность очевидна? а для чего применять теорему о гомоморфизмах, почему не достаточно просто проверить сохраняемость операций, т е определитель произведения равен произведению определителей?

(26 Мар 21:36) plague

@plague: это означает, что мы рассматриваем отображение f:GL(n,C)->R+. В условии группа G2 должна быть именно такой -- в противном случае изоморфизма не получится. Сюръективность имеет место именно для этого случая: для любого положительного вещественного a имеется матрица, у которой модуль определителя равен a. Для R{0} это было бы уже неверно. Теорема о гомоморфизмах нужна, потому что она сразу говорит, что факторгруппа по ядру изоморфна образу. Тогда результат сразу следует. А без неё мы просто получим гомоморфизм -- этого будет мало.

(26 Мар 22:47) falcao

@falcao: скажите, почему изоморфизма не получится при R/{0}? А результат будет доказательство того, что G1/H изоморфна G2? а теорема о гомоморфизме показывает, что G1/ker(G1/H) -> G2? то есть если это отображение гомоморфизм, то, следовательно, и изоморфизм?

(27 Мар 12:54) plague

@plague: первый вопрос заслуживает ответа, а остальные, можно сказать, нет, потому что там много путаницы. Прежде всего, надо повторить формулировку теоремы и гомоморфизмах и посмотреть, что она доказывает. "Факторгруппа по ядру изоморфна образу". Поэтому будет G1/H==G2, так как H -- ядро. Запись ker(G1/H) ошибочна (ядро есть у гомоморфизма, а не у факторгруппы, то есть H -- это ker(f) на самом деле).

Далее, гомоморфизм f, конечно, не есть изоморфизм. Изоморфизмом будет совсем другое отображение, которое строится в теореме.

(27 Мар 13:06) falcao

(продолжение) По поводу первого: верное рассуждение доказывает, что G1/H изоморфна R+. Для R{0} вместо R+ то же рассуждение не проходит, так как отображение на R{0} не сюръективно. Однако этого мало -- вдруг тот же факт доказывается другими способами? Оказывается, нет, так как сами группы R+ и R\0} неизоморфны. В самом деле, уравнение x^2=1 имеет в первой группе одно решение, а во второй два (1 и -1), то есть в конце условия должны быть другая группа.

(27 Мар 13:09) falcao

@falcao: тогда получается, что f:G->G2 -гомоморфизм, где G=G1/H. тогда ker f норм.подгруппа G, а Im f норм.подгруппа G2 => G/ker f изоморфна Im f => (G1/H)/ H изоморфна G2? я совсем не понимаю, как это происходит

(27 Мар 15:17) plague

@plague: предлагаю для начала "обнулить" всё то, что у Вас есть в голове по этому поводу -- там ужаснейшая путаница :))

Смотрим на всё как бы "с нуля". Есть группа G1=GL(n,C) и группа G2=R+. Строится отображение f:G1->G2 по правилу f(A)=|det(A)|. Проверяется, что это гомоморфизм. Уже сказали, что он сюръективен, то есть Im f=G2. Ядро f в точности равно H. Применяем теорему в виде G1/Ker(f)==Im(f). Это и значит, что G1/H==G2. Бога ради, не надо никаких дополнительных мыслей сверх этого, а то запутаетесь :)

(То, что Im f всегда нормальна в G2 -- выдумка, а запись (G1/H)/H абсурдна.)

(27 Мар 15:25) falcao

@falcao: а почему ядро f равно H, ведь ядро f, когда f(a)=0, а H получается f(a)=1? а сюръективность нам нужна для того, чтобы Im f = G2?

(27 Мар 16:02) plague

@plague: опять путаница. Группа G2 положительных чисел рассматривается с операцией умножения. Ядро, по определению, состоит из всех элементов группы G1, переходящих в нейтральный элемент группы G2. То есть в 1. Именно по этой причине в условии и была рассмотрена группа H, которая совпадает с ядром по определению.

Сюръективность в точности означает, что Im f=G2, это здесь и используется.

По-моему, если не выдумывать ничего своего, а просто взять и проследить ход доказательства, то там всё яснее ясного.

(27 Мар 16:21) falcao

@falcao: я правильно понимаю, что f:G1->R/{0} не сохраняет сюръективность, тк |det А | > 0, отрицательные значения из R/{0} не будут условию подходить? а какие еще способы существуют, чтобы установить изоморфизм?

(27 Мар 17:08) plague

@plague: понимаете Вы правильно, то есть отрицательным модуль определителя быть не может, и потому отображение несюръективно. Только неправильно выражать мысль в такой форме: почему Вы говорите о "несохранении" сюръективности? В такой форме можно говорить про операцию, что гомоморфизм её сохраняет. А сюръективность или есть, или её нет.

Что касается последнего вопроса: изоморфизм между чем и чем Вас интересует? По идее, есть очень много разных способов установления изоморфизма между каким-то группами, но это только если они в самом деле изоморфны. Но здесь нет изоморфизма между G1/H и R{0}.

(27 Мар 19:24) falcao

@falcao: пока интересует изоморфизм между факторгруппой и группой. получается, чтобы был изоморфизм, то теорема о гомоморфизме должна выполняться?

(27 Мар 19:35) plague

@plague: теорема о гомоморфизмах выполняется в любом случае -- хотим мы того или нет. Это доказанный факт. В большом числе случаев эта теорема является самым лёгким путём для установления изоморфизма между факторгруппой и какой-то уже известной нам группой). Именно в таком качестве её и надо использовать.

(27 Мар 20:04) falcao

@falcao: а можно проверять на биективность факторгруппу и группу, и если будет биекция, то проверять f(a)f(b)=f(ab)?

(27 Мар 20:18) plague
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
0

В комментариях уже не осталось места, поэтому продолжаю здесь.

Что бывает биективным? Отображение. Что можно проверять на биективность? Отображение. Можно ли проверять на биективность "факторгруппу и группу"? Нельзя, потому что это не отображение.

Что остаётся в итоге, если неточный речевой оборот исправить? Окажется условие f(ab)=(a)f(b), то есть условие гомоморфности отображения, и биективность отображения, а вместе это и есть изоморфизм. То есть это характеризует самую общую ситуацию.

Если же речь идёт о доказательстве изоморфности факторгруппы и группы, то в теореме о гомоморфизмах именно это и делается. Только для начала надо построить отображение из факторгруппы в группу. Это так называемый индуцированный гомоморфизм. Когда он задан, то дальше уже идут упомянутые проверки.

То есть вся информация, которая Вам здесь нужна, содержится в доказательстве теоремы. Если всё это как следует разобрать и понять, то лишних вопросов по этой теме уже не останется.

При этом я бы рекомендовал Вам тщательно следить за своей речью, и называть вещи своими именами.

ссылка

отвечен 27 Мар 21:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,481
×997
×66
×26

задан
26 Мар 21:07

показан
214 раз

обновлен
27 Мар 21:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru