алгебра - Сколько корней имеет уравнение?

Из вида подкоренного выражения получается $%x\in[-\pi;\pi/6]$%, а из того, что $%x$% стоит под знаком арксинуса, следует $%x\in[-1;1]$%. Пересекая оба множества, имеем $%x\in D=[-1;\pi/6]$%. Третий сомножитель обращается в ноль на $%D$% только при $%x=\pi/6$%; это даёт одно из решений.

Далее, при $%x\in D$% арксинус принимает по разу все значения из $%[-\pi/2;\alpha]$%, где $%\alpha=\arcsin(\pi/6)$%; последняя из величин больше $%\pi/6$% ввиду $%\sin\alpha=\pi/6 > 1/2=\sin(\pi/6)$%; ясно также, что $%\alpha < \pi/3$% ввиду $%\sin\alpha=\pi/6 < \sqrt{3}/2=\sin(\pi/3)$%. Таким образом, величина $%6\arcsin x$% на $%D$% принимает в точности следующие значения, кратные $%\pi$%: это $%-3\pi$% при $%x=-1$%; $%-2\pi$% при $%x=-\sqrt{3}/2$%; $%-\pi$% при $%x=-1/2$%; $%0$% при $%x=0$%; $%\pi$% при $%x=1/2$%. Это даёт ещё пять новых решений: ни одно из них не совпадает с ранее найденным $%\pi/6$%.

Наконец, рассмотрим первый сомножитель. Функция $%g(x)=21x-11+(\sin x)/100$%, рассматриваемая на всей вещественной прямой, всюду имеет положительную производную ввиду $%g'(x)=21+(\cos x)/100 > 20$%. При этом $%g(0) < 0$%, а $%g(1) > 0$%, поэтому уравнение $%g(x)=0$% имеет в точности один вещественный корень $%x_0$%. Нам надо определить, принадлежит ли он множеству $%D$%. Рассмотрим число $%g(\pi/6)=7\pi/2-11+1/200$%. Эта величина близка к нулю ввиду $%\pi\approx22/7$%, однако ввиду неравенства $%\pi > 3,1415$% мы можем заключить, что $%g(\pi/6) > 0$%. Легко видеть, что $%g(1/2) < -1/2+1/100 < 0$%, откуда $%x_0\in(1/2;\pi/6)$%. Это значит, что $%x_0$% -- ещё один корень рассматриваемого в задаче уравнения. Он не совпадает ни с одним из ранее найденных. Итого уравнение имеет ровно семь корней. Множеством решений будет $%\{-1;-\sqrt{3}/2;-1/2;0;1/2;x_0;\pi/6\}$%.