$%(21x-11+\frac{\sin x}{100})\cdot\sin(6\arcsin x)\cdot\sqrt{(\pi-6x)(\pi+x)}=0$%

задан 11 Июн '13 17:54

изменен 11 Июн '13 21:00

falcao's gravatar image


174k1531

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из вида подкоренного выражения получается $%x\in[-\pi;\pi/6]$%, а из того, что $%x$% стоит под знаком арксинуса, следует $%x\in[-1;1]$%. Пересекая оба множества, имеем $%x\in D=[-1;\pi/6]$%. Третий сомножитель обращается в ноль на $%D$% только при $%x=\pi/6$%; это даёт одно из решений.

Далее, при $%x\in D$% арксинус принимает по разу все значения из $%[-\pi/2;\alpha]$%, где $%\alpha=\arcsin(\pi/6)$%; последняя из величин больше $%\pi/6$% ввиду $%\sin\alpha=\pi/6 > 1/2=\sin(\pi/6)$%; ясно также, что $%\alpha < \pi/3$% ввиду $%\sin\alpha=\pi/6 < \sqrt{3}/2=\sin(\pi/3)$%. Таким образом, величина $%6\arcsin x$% на $%D$% принимает в точности следующие значения, кратные $%\pi$%: это $%-3\pi$% при $%x=-1$%; $%-2\pi$% при $%x=-\sqrt{3}/2$%; $%-\pi$% при $%x=-1/2$%; $%0$% при $%x=0$%; $%\pi$% при $%x=1/2$%. Это даёт ещё пять новых решений: ни одно из них не совпадает с ранее найденным $%\pi/6$%.

Наконец, рассмотрим первый сомножитель. Функция $%g(x)=21x-11+(\sin x)/100$%, рассматриваемая на всей вещественной прямой, всюду имеет положительную производную ввиду $%g'(x)=21+(\cos x)/100 > 20$%. При этом $%g(0) < 0$%, а $%g(1) > 0$%, поэтому уравнение $%g(x)=0$% имеет в точности один вещественный корень $%x_0$%. Нам надо определить, принадлежит ли он множеству $%D$%. Рассмотрим число $%g(\pi/6)=7\pi/2-11+1/200$%. Эта величина близка к нулю ввиду $%\pi\approx22/7$%, однако ввиду неравенства $%\pi > 3,1415$% мы можем заключить, что $%g(\pi/6) > 0$%. Легко видеть, что $%g(1/2) < -1/2+1/100 < 0$%, откуда $%x_0\in(1/2;\pi/6)$%. Это значит, что $%x_0$% -- ещё один корень рассматриваемого в задаче уравнения. Он не совпадает ни с одним из ранее найденных. Итого уравнение имеет ровно семь корней. Множеством решений будет $%\{-1;-\sqrt{3}/2;-1/2;0;1/2;x_0;\pi/6\}$%.

ссылка

отвечен 11 Июн '13 21:45

Спасибо Вам!

(11 Июн '13 22:01) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
1

ОДЗ определяется из системы $%|x|\le1$% и $%-\pi\le x \le \frac{\pi}6 \Leftrightarrow x\in [-1;\frac{\pi}6]$% Корьни уравнения надо искать среди нулей трех множителей левой части. $%(21x-11+\frac{\sin x}{100})\cdot\sin(6\arcsin x)\cdot\sqrt{(\pi-6x)(\pi+x)}=0$%

$%\sqrt{(\pi-6x)(\pi+x)}=0\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} x=\frac{\pi}6 \\x=-\pi\end{aligned}\right.$%
Удовлетворяет только $%\frac{\pi}6$%.

$%\sin(6\arcsin x)=0\Leftrightarrow 6arcsinx=\pi k \Leftrightarrow arcsinx=\frac{\pi k}6 (k \in \{0;\pm1;\pm2\;\pm3\})$%, если учесть, что $%x\in [-1;\frac{\pi}6]$% получим $%\left[\begin{aligned} x=-1\\ x=\frac{-\sqrt3}2 \\x=\pm\frac{1}2 \\ x=0 \end{aligned}\right.$%

А что касается первого множителя. Обозначим $%f(x)=21x-11+\frac{\sin x}{100}. f^{'}(x)=21+\frac1{100}cosx>0 (x\in R) \Rightarrow f(x)$% возрастает в $%x\in [-1;\frac{\pi}6],$% и значит $%f(-1)<0, f(\frac{\pi}6)>0$%. Первый множитель имеет один нуль. А уравнение иммет 7 решений.

Ответ. $%7$%

ссылка

отвечен 11 Июн '13 22:29

изменен 11 Июн '13 22:57

Вы по моему ошиблись в третьем множителе один корень подходит и он не 6pi, а pi/6

(11 Июн '13 22:34) SenjuHashirama

Тут очень много неточностей в решении. Во-первых, там не $%x=6\pi$% должно быть, а $%x=\pi/6$%. Далее, уравнение с арксинусом решено неправильно: там же надо синусы величин вида $%\pi k/6$% рассматривать, и $%x=\pm\pi/6$% из этого никак не получается.

(11 Июн '13 22:34) falcao

Сегодня я очень занята. По этому допускаю так много ошибок.

(11 Июн '13 23:03) ASailyan

@Теперь все правильно. Спасибо Вам!

(11 Июн '13 23:05) SenjuHashirama
1

Мои ученики успешно сдали единый гос. экзамен.

(11 Июн '13 23:05) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,610

задан
11 Июн '13 17:54

показан
2086 раз

обновлен
11 Июн '13 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru