Пусть множество всех прямых на плоскости разбито на непересекающиеся множества L1 и L2. Докажите, что плоскость можно разбить на непересекающиеся множества А1 и А2, такие что для каждого i=1,2 каждая прямая из L_i пересекаются с A_i менее чем в континууме точек

задан 3 Апр 1:44

возвращен 13 Май 13:45

falcao's gravatar image


254k23650

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Домашнее задание". Закрывший - falcao 13 Май 13:46

1

С применением континуум-гипотезы: рассматриваем полное упорядочение континуума. Это будет первый несчётный ординал; все его элементы -- счётные ординалы.

При помощи трансфинитной индукции, раскрашиваем точки плоскости в два цвета. Изначально ни одна точка не раскрашена. Прямые занумерованы счётными ординалами. Если ординал не предельный, то на шаге a+1 мы берём очередную прямую. У нас было проведено не более чем счётное множество прямых. Взятая нами прямая пересекается с уже проведёнными по числу точек мощности меньше континуума. Точки пересечения были раскрашены раньше. Если (a+1)-я прямая из L1, то все её не раскрашенные точки относим к A2. Если она из L2, то к A1.

На каждом шаге у нас раскрашены точки объединения проведённых прямых. Для предельного ординала берём объединение раскрасок на предыдущих шагах. Так мы на последнем шаге получим раскраску всей плоскости.

ссылка

отвечен 4 Апр 4:18

возвращен 13 Май 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×635

задан
3 Апр 1:44

показан
207 раз

обновлен
13 Май 15:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru