alt text

задан 12 Июн '13 14:39

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, нужно упростить выражение "арккосинус синуса". Положим $%t=x-2y-1$%. Заметим, что $%-\pi-1\le t\le\pi-1$%. Разобьём данный отрезок на три промежутка: $%I_1=[-\pi-1;-\pi/2]$%; $%I_2=[-\pi/2;\pi/2]$%; $%I_3=[\pi/2;\pi-1]$%. Утверждается, что $%\arccos(\sin t)$% равен: 1) $%t+3\pi/2$% при $%t\in I_1$%; 2) $%\pi/2-t$% при $%t\in I_2$%; 3) $%t-\pi/2$% при $%t\in I_3$%. Чтобы проверить эти равенства, достаточно заметить две вещи. Во-первых, из формул приведения ясно, что косинус каждого из указанных углов равен синусу $%t$%. Во-вторых, каждый из трёх указанных углов принадлежит отрезку $%[0;\pi]$%.

Теперь преобразуем выражение $%f(x,y)=2\arccos(\sin(x-2y-1))+x-y+2$% на каждом из промежутков. Далее $%t=x-2y-1$% для всех случаев.

1) При $%t\in I_1$% имеем $%f(x,y)=2(x-2y-1+3\pi/2)+x-y+2=3x-5y+3\pi$%.

2) При $%t\in I_2$% имеем $%f(x,y)=2(\pi/2-x+2y+1)+x-y+2=-x+3y+\pi+4$%.

3) При $%t\in I_3$% имеем $%f(x,y)=2(x-2y-1-\pi/2)+x-y+2=3x-5y-\pi$%.

Далее надо решить задачу на нахождения максимума линейной функции в пределах множества, соответствующего каждому из трёх условий. Для этого полезно сделать вслед за словесным объяснением такой рисунок. Для начала изобразим на координатной плоскости прямоугольник $%OACB$%, где $%O(0;0)$%; $%A(\pi;0)$%; $%B(0;\pi/2)$%, $%C(\pi;\pi/2)$%. Это соответствует неравенствам $%0\le x\le\pi$%, $%0\le y\le\pi/2$%, то есть функция $%f(x,y)$% задана на прямоугольнике $%OACB$%.

Теперь надо разделить прямоугольник на три части $%D_1$%, $%D_2$%, $%D_3$% так, чтобы точки каждой из частей соответствовали принадлежности величины $%t$% каждому из трёх отрезков $%I_1$%, $%I_2$%, $%I_3$%. С этой целью проведём две прямые, уравнения которых соответствуют условиям $%t=-\pi/2$% и $%t=\pi/2$%. Первая из этих прямых имеет уравнение $%x-2y-1=-\pi/2$%, и она проходит через точки $%D(0;\pi/4-1/2)$% и $%E(\pi/2+1;\pi/2)$%. Вторая прямая параллельна первой (обе они имеют угловой коэффициент $%1/2$%); она имеет уравнение $%x-2y-1=\pi/2$%, и проходит она через точки $%F(\pi/2+1;0)$% и $%G(\pi;\pi/4-1/2)$%. Проведённые прямые разбивают прямоугольник на три части, где $%D_1$% есть треугольник $%BDE$%, $%D_2$% есть шестиугольник $%ODECGF$%, и $%D_3$% есть треугольник $%AFG$%.

Далее возникают три однотипных задачи. В первой из них надо найти максимум линейной формы (функции) $%3x-5y$% на множестве $%(x,y)\in D_1$%. Для этого нужно представить себе связку параллельных прямых вида $%3x-5y=k$%, где $%k$% -- константа. Эта прямая имеет угловой коэффициент $%3/5$%, что превосходит $%1/2$%. Значение величины $%3x-5y$% будет тем больше, чем ниже расположена соответствующая прямая (что соответствует увеличению $%x$% и уменьшению $%y$%). Для выяснения того, какая из прямых будет занимать самое нижнее положение, среди проходящих через точки множества $%D_1$%, достаточно провести три параллельные друг другу прямые через вершины многоугольника, то есть через $%B$%, $%D$% и $%E$%. Достаточно легко видеть, что искомая прямая проходит через точку $%E$%: это можно заметить как из свойств углового коэффициента прямых, учитывая то, куда они наклонены, так и при помощи подстановки координат точек в выражение $%3x-5y$%.

Беря теперь координаты точки $%E$%, то есть $%x=\pi/2+1$%, $%y=\pi/2$%, мы подставляем их в максимизируемое нами выражение $%f(x,y)=3x-5y+3\pi$% из пункта 1), что даёт значение $%3(\pi/2+1)-5\pi/2+3\pi=2\pi+3$%. То есть это максимум функции на $%D_1$%.

Сейчас проще всего исследовать третий случай, так как там мы максимизируем ту же самую форму $%3x-5y$%. Действуя по тому же принципу, мы находим прямую, проходящую через точки многоугольника $%D_3$% и находящуюся в самом нижнем возможном положении. Эта прямая проходит через точку $%A$% с координатами $%x=\pi$%, $%y=0$%, и эти числа надо подставить в выражение из третьего пункта, то есть в $%f(x,y)=3x-5y-\pi$%. При этом получается $%2\pi$%, что меньше найденного нами выше значения $%2\pi+3$%.

Наконец, исследуем второй случай, где на множестве $%D_2$% надо максимизировать значение величины $%3y-x$%. Здесь мы среди всех прямых вида $%3y-x=k$% выбираем самую верхнюю, так как с увеличением $%y$% эта величина растёт. Угловой коэффициент здесь меньше $%1/2$%, откуда легко заключить, что искомая прямая будет проходить через вершину $%E$% шестиугольника $%D_2$%. При этом координаты точки $%E$% надо будет подставить в выражение $%-x+3y+\pi+4$% из второго пункта, но этого можно не делать, так как функция $%f(x,y)$% непрерывна на прямоугольнике, и её значение в точке $%E$%, принадлежащей $%D_1$%, мы уже находили. Разве что в целях проверки вычислений полезно убедиться в том, что при $%x=\pi/2+1$%, $%y=\pi/2$% мы снова получим $%-(\pi/2+1)+3\pi/2+\pi+4=2\pi+3$%.

Таким образом, максимальное значение выражения равно $%2\pi+3$%, и достигается оно при $%x=\pi/2+1$%, $%y=\pi/2$%.

ссылка

отвечен 12 Июн '13 16:26

ужас какой-то, а не задача. Спасибо Вам!

(12 Июн '13 17:04) SenjuHashirama

Запись решения хотя и длинная, но сам способ, как это принято говорить, "локально-тривиальный" :)

(12 Июн '13 17:08) falcao

для школьника не очень тривиально )

(12 Июн '13 17:11) SenjuHashirama

Я согласен, что эта задача не относится к числу тривиальных. Имелось в виду другое: существует решение, в котором каждый шаг в каком-то смысле "тривиален", то есть не требует никаких "сверхусилий" или чего-то ещё. Под этим я подразумеваю то, что готовое решение понять легко -- вне зависимости от того, легко ли его получить.

(12 Июн '13 17:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×779

задан
12 Июн '13 14:39

показан
1670 раз

обновлен
12 Июн '13 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru